有一正整數 N，它 2 的倍數有 28 個正因數，3 的倍數有 30 個正因數，請問它 6 的倍數有多少個正因數？
舉例來說，假設正整數 N = 4，它 2 的倍數是 8，正因數有 1, 2, 4, 8 四個。
它 3 的倍數是 12，正因數有 1, 2, 3, 4, 6, 12 六個。
這個問題是小朋友學校的數學考題，雖然有高中程度，慢慢想應該可以想通。
2018年1月14日 星期日
訓練數學感 160 ─ 正因數有多少個？
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“它2的倍數有28個因數”這句沒看懂。可以解釋一下嗎？
回覆刪除已經補充內文加入舉例，希望老師能夠理解。
刪除是否為"正因數個數"?
回覆刪除是的。
刪除孫老師以程式暴力破解，解答在 http://4rdp.blogspot.tw/2018/01/rosa-46-otto-like.html?showComment=1516167491037#c6851653993359769098
回覆刪除加分題，這是唯一解嗎?
是的!詳細過程明天段考後會貼上來。
刪除祝考試順利，期待你的答案。
刪除(LaTeX編輯)
刪除令N有n個質因數(ω(N)=n)，且標準分解式
N=2^{a_{1}}\times3^{a_{2}}\times5^{a_{3}}\times...\times p_{n}^{a_{n}}
其中p_{i}為第n個質因數，a_{i}為p_{i}經過的冪次。
根據正因數個數的計算公式
d(2N)=(a_{1}+2)(a_{2}+1)(a_{3}+1)...(a_{n}+1)=28
d(3N)=(a_{1}+1)(a_{2}+2)(a_{3}+1)...(a_{n}+1)=30
上下相除。
\frac{d(2N)}{d(3N)}= \frac{(a_{1}+2)(a_{2}+1)}{(a_{1}+1)(a_{2}+2)}=\frac{28}{30}=\frac{14}{15}
交叉相乘後強迫因式分解。
15(a_{1}+2)(a_{2}+1)=14(a_{1}+1)(a_{2}+2)
a_{1}a_{2}-13a_{1}+16a_{2}+2=0
(a_{1}+16)(13-a_{2})=210
顯然兩個括號都是正的，因此探討210的正因數。
210=210\times1=105\times2=70\times3=42\times5=35\times6=30\times7=21\times10=15\times14=...
其餘的右乘項會大於左乘項，而a_{1}+16\geq 16>13\geq 13-a_{2}，不合。
計算得
a_{1}=194\vee 89\vee 54\vee 26\vee 19\vee 14\vee 5\vee -1(-1不合。)
對應的a_{2}=12\vee 11\vee 10\vee 8 \vee 7 \vee 6\vee 3\vee -1 (-1不合。)
又由d(2N)及d(3N)可知，a_{1}+2,a_{2}+1為28的因數；a_{1}+1,a_{2}+2為30的因數，將不合者再次剔除，因此
a_{1}=5
對應的a_{2}=3
代回原式
d(2N)=(7\times4)(a_{3}+1)...(a_{n}+1)=28
d(3N)=(6\times5)(a_{3}+1)...(a_{n}+1)=30
得知後面那一串都是1，因此
a_{3}=a_{4}=a_{5}=...a_{n}=0
由此可知N=2^{5}\times3^{3}=864。
N=864，唯一解。
我會問是因為題意不清，因數總數，我認為是有包含負因數的。不過，高一前是不討論啦。
刪除西瓜謝謝你的詳解，已把標題修正，避免誤會。
刪除從這個題目給我一個靈感，目前加密是以極大質數處理，總有一天這極大質數會有方法處理，或許可以再加入因數數量計算，增加電腦計算量來加強保護。
哈哈，奇奇怪怪的函數還有很多呢。
刪除嗯，說得也是，不過有興趣的人還是可以想看看。
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