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這裡舉一個根號速算的例子
$\sqrt{93}=9.64365076\cdots$
我們套用下列步驟計算
一、找一個接近原數的平方數
$81=9^{2}=a^{2}$
$\Rightarrow a=9$
二、計算原數與平方數之間的差值
$b=93-81=12$
三、代公式 $\sqrt{x}=a+\frac{b}{2a}$
$\sqrt{93}\approx 9+\frac{12}{2\times 9} =9.6 $
四、可重複迭代步驟一到三，求更精確數值
$92.16=9.6^{2}=a^{2}$
$b=93-92.16=0.84$
$\sqrt{93}\approx 9.6+\frac{0.84}{2\times 9.6}= 9.64375\cdots$
其計算的原理
$x=a^{2}+b$
$x-a^{2}=b$
$(\sqrt{x}+a)(\sqrt{x}-a)=b$
$\sqrt{x}-a=\frac{b}{\sqrt{x}+a}$
$\sqrt{x}=a+\frac{b}{\sqrt{x}+a}$
$\sqrt{x}=a+\frac{b}{a+\sqrt{x}}$
$\sqrt{x}=a+\frac{b}{a+a+\frac{b}{a+a+\frac{b}{\cdots}}}$
$\sqrt{x}=a+\frac{b}{2a+\frac{b}{2a+\frac{b}{\cdots}}}$
$\Rightarrow \sqrt{x}=a+\frac{b}{2a+\cdots}$
