訓練數學感 378 ─ 黃藍面積比值

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如左圖所示，大正方形內嵌一個小正方形，然後以小正方形頂點為圓心，可各畫出兩個大小半圓，試求出黃藍標示區塊面積比例。

難度 ✩

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國際貿易條款 (Incoterms)

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國際貿易條款是指兩個或多個國家之間為了進行商品和服務交易而達成的協議或規定。這些條款通常包括以下幾個方面：

商品描述：明確描述貨物或服務的特性、品質、數量、價格等相關信息。

價格和支付方式：確定交易的價格、支付方式、貨幣種類、付款條件等。

交貨條件：規定貨物的交付方式、交貨地點、交貨時間等。

檢驗和接受：規定商品檢驗的標準和程序，以及買方對貨物檢驗結果的接受標準。

保險：確定貨物在運輸過程中的保險責任歸屬，以及相關保險的類型和範圍。

運輸：規定貨物的運輸方式、負責運輸的一方、運輸時間等。

補償和損壞：確定當貨物在運輸或交付過程中受損或丟失時，各方的補償責任和程序。

法律管轄：確定適用於條款的法律，以及解決爭端的管轄法院或仲裁機構。

這些條款通常在貿易合同中明確規定，目的是為了確保雙方在貿易過程中的權益和義務得到充分保障，同時降低因語言、文化、法律等方面的差異而產生的風險。

國際貿易條款的一個重要框架是國際商會（ICC）制定的國際貿易術語（Incoterms），它規定了買賣雙方在交貨、傳送風險、費用負擔等方面的責任和義務。每個術語的含義：

CFR - Cost and Freight：成本和運費，指貨物價格包含運費，但買方負責進口海關手續和運輸風險。

CIF - Cost, Insurance, Freight：成本、保險和運費，買方支付貨物價格、運費和保險費，賣方負責將貨物運送到目的地港口。

CIP - Carriage & Insurance Paid To：貨運和保險負擔至，買方支付貨運和保險費用，賣方負責將貨物交付給第一運輸人。

CPT - Carriage Paid To：貨運負擔至，買方支付貨運費用，賣方負責將貨物交付給第一運輸人。

DAF - Delivered At Frontier：運到邊境，指賣方負責將貨物運送到指定邊境的地點，買方負責進口手續和運輸費用。

DAP - Delivered At Place：交貨地點交貨，賣方負責將貨物運送到指定地點，買方負責進口手續和運輸費用。

DAT - Delivered At Terminal：交貨到運輸站，指賣方負責將貨物交付到指定的目的地運輸站，買方負責進口手續和運輸費用。

DDP - Delivered Duty Paid：貨物已付關稅交貨，賣方負責將貨物運送到目的地並支付所有進口費用和關稅。

DDU - Delivered Duty Unpaid：未付關稅交貨，賣方負責將貨物運送到目的地，但不負責支付進口關稅。

DEQ - Delivered Ex Quay：交貨到碼頭，指賣方負責將貨物運送到目的地港口，買方負責進口手續和貨物提取。

DES - Delivered Ex Ship：交貨到船上，賣方負責將貨物交付給買方，但買方負責將貨物從船上卸下。

EXW - Ex Works：出廠價，賣方僅負責將貨物交付給買方，買方負責所有進口手續和運輸費用。

FAS - Free Alongside Ship：船邊交貨，賣方負責將貨物交付到指定港口船邊，買方負責進口手續和貨物運輸。

FCA - Free Carrier：免費承運人，賣方負責將貨物交付給指定運輸公司或地點，買方負責進口手續和貨物運輸。

FOB - Free On Board：船上交貨，指賣方負責將貨物交付到指定港口船上，買方負責進口手續和貨物運輸。

這些術語根據國際商業慣例，可以根據具體情況進行調整和擴展，以確保買賣雙方的權益得到保障並降低風險。

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訓練數學感 377 ─ 尋找最小完美正方形

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已知正方形整數邊長 N，可將其分割成許多不同大小整數邊長的正方形，請尋找最小完美正方形。

難度 ✩✩✩✩

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技術大學

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大學水電系 感覺歡樂 (Bing Image Create)

金門大學的陳鍾誠教授不定期會在他的臉書討論大學水電系問題，因為現在台灣的科技大學越來越跟普通大學性質相近，難以區別教學內容差異。如果科技大學與普通大學主要差別在學生來源，一個多數來自高職生，另一個來自高中生，結果兩種大學教材與上課內容沒有太多差異，那麼科技大學被同質化只是時間的問題。

個人認為技術大學與普通大學最大差異應該在實作比例上要有極大差別，技術大學應該將近七八成專業課程需要實作，理論講授大約佔兩成，而普通大學則比例相反，理論佔八成，實作兩成，讓這樣不同的教育體系並行，才能讓技術大學續存。

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哈雷趨近法 (Halley's method)

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數學哈雷趨近法 (Bing Image Creator)

哈雷趨近法是一種數值方法類似牛頓法數值迭代可以快速收斂求解方程式根值的方法，這是在 FB 上看到，姑且不論複雜程度，新方法就是要學習與蒐錄，這就是本部落格的風格，不多說，直接給公式，關於它的證明請自行直接參考維基百科說明。

當非線性方程式 $f(x) = 0$，它的迭代式為

$x_{n+1}=x_{n}-\frac{2f(x_n)f'(x_n)}{2[f'(x_n)]^2-f(x_n)f''(x_n)}\cdots \cdots (1)$

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\frac{f''(x_n)}{2}}=x_n-{\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}[1-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\cdot \frac{f''(x_n)}{2f'(x_n)}]^{-1}\cdots \cdots (2)$

這裡舉常見開根號為例，讓大家了解如何應用它，例如想求解 $x=\sqrt{a}$

令 $f(x)=x^2-a=0$

$f'(x)=2x$，以及 $f''(x)=2$，代入第 2 式得

$x_{n+1}=x-\frac{x^2-a}{2x-\frac{{x^2-a}}{2x}\frac{2}{2}}=x-{\frac{x^2-a}{2x}}[1-\frac{x^2-a}{2x}\cdot \frac{2}{4x}]^{-1}\cdots \cdots (3)$

整理一下得

$x_{n+1}=x-\frac{x^2-a}{2x-\frac{{x^2-a}}{2x}}\cdots \cdots (4)$

這個第 4 式與根號連分數快速估算法相同

$x_{n+1}=x+\frac{a-x^2}{2x+\frac{a-x^2}{2x}}=x-\frac{x^2-a}{2x-\frac{x^2-a}{2x}}$

另外，比對牛頓法，它很像第 3 式的簡化版

$x_{n+1}=\frac{1}{2}(x+\frac{a}{x})=x-\frac{x^2-a}{2x}$

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數學之美 26 ─ 正方形與正三角的拼圖

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在連崇馨老師的臉書看到一篇貼文，如左圖所示，以正方形與正三角拚滿整個圖框，真是對稱又好看，以後有機會去雷切板材時，想切個圖塊來玩玩。

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訓練數學感 376 ─ 混亂時鐘有多少種起始狀態？

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 圖片來自 混亂時鐘多個美妙的局面

ejsoon 混亂時鐘的遊戲起始，就是把所有鐘面數字弄亂，不對號入座，請問這個遊戲有多少種起始狀態？

難度 ✩✩✩✩

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混亂時鐘

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圖案來自 六月份混亂時鐘

網友 ejsoon 設計了一款有趣的桌遊，稱為混亂時鐘，遊戲初始像鐘面 12 個數字任意錯置，他設計兩人對弈要把數字恢復成原來依序的位置，下棋的規則請參考他的部落格 (天蒼人頡)。

個人偏好公平遊戲，期待能多人組隊輪流下棋，相同開局情況下，看那一隊通力合作可以最快速度完成共贏，這樣可以辦比賽並比較棋藝能力高低，從一人到多人都可以一起玩，若只限定陣營對抗，感覺太肅殺了。

沒有棋具的朋友可以用撲克牌替代，更多的討論，請參考連結。

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