2019年1月6日 星期日

訓練數學感 199 ─ 最多可以放幾個等腰三角形

http://4rdp.blogspot.com/2019/01/199.html?m=0

一個半圓形，在裡面任意畫頂角為 20° 等腰三角形，三角形頂角必須在半圓的弧上，三角形底邊必須與半圓底邊上，請問半圓內最多可以放幾個頂角 20° 等腰三角形？所有三角形不相重疊。

難度 ✩✩✩
這題是 Andy 任意發想的題目，目的就是要考倒我 ^_^!! 他認為題目要簡潔，但是又難以立即解出的，比較有深度，他認為這種題目，就難以使用三角函數求解。

延伸閱讀
Clever method to solve a tricky geometry problem!  這題被 Mind Your Decisions 及眾多奧林匹亞數學競賽收錄，詳見 YouTube 留言區

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17 則留言:

  1. .2019年1月8日 晚上10:17

    http://imgur.com/gallery/YA48gij

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  2. Bridan2019年1月10日 晚上10:23

    加分題，所有的等腰三角形邊長總合等於多少？

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  3. flyingdusts2019年1月11日 晚上7:50

    這題有毒（笑）
    三角函數的做法目前只用嘗試了正切和餘割。
    還沒發現什麼規律。

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    1. Bridan2019年1月11日 晚上9:16

      從西瓜的解法，最大的規律就是依據給定的角度等分圓弧，然後在直徑上的角度也是一樣的。

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  4. .2019年1月12日 中午12:45

    http://imgur.com/gallery/gGYBRnI

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    1. Bridan2019年1月12日 下午3:36

      正解，求邊長就需要三角函數，這題是高中數學的程度。

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    2. flyingdusts2019年1月15日 下午3:47

      看不見圖了……

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    3. Bridan2019年1月15日 晚上11:45

      謝謝老師提醒，我先補個圖記錄，https://www.geogebra.org/classic/mhvf49gp
      三角形總邊長 = 2R (csc 10° + 1)
      至於西瓜的，請他麻煩補上

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    4. flyingdusts2019年1月16日 上午10:45

      這兩天我陷入了研究各相似三角形底邊比例的坑中，不能自拔。
      不知道有沒有公式可以計算出各底邊的比例呢？
      我目前計算到
      角度為45度時，
      三個相似三角形之比為
      cos(45):1:cos(45)
      角度為30度時，
      五個比為
      1/4/(sin(30)):cos(30):1::cos(30):1/4/(sin(30))
      角度為22.5時，
      七個比為
      sin(22.5):2*sin(22.5)*cos(22.5):cos(22.5):1:cos(22.5):2*sin(22.5)*cos(22.5):sin(22.5)
      再往下也看不到什麽規律了……

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    5. .2019年1月16日 晚上7:26

      哈，我以為imgur的圖片 hidden之後還看得到。
      現在打開了。

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    6. .2019年1月16日 晚上7:29

      imgur好像走向社群網站，所以我的圖片被好多人看到，甚至還有人留言問我這是什麼。

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    7. Bridan2019年1月16日 晚上10:40

      孫老師，你的答案不對喔，其比例應該是：
      45°, sin(45°):sin(90°):sin(45°)
      30°, sin(30°):sin(60°):sin(90°):sin(60°):sin(30°)
      22.5°, sin(22.5°):sin(45°):sin(67.5°):sin(90°):sin(67.5°):sin(45°):sin(22.5°)

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    8. Bridan2019年1月16日 晚上10:41

      西瓜，http://imgur.com/gallery/YA48gij 這張圖也看不見。

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    9. .2019年1月16日 晚上11:10

      開了！

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    10. flyingdusts2019年1月17日 下午4:28

      對對，我繞遠了。你這個答案簡潔多了

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    11. Bridan2019年1月17日 晚上11:18

      OK，沒想過底邊比率與 sin 相關

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