訓練數學感 132 ─ 皇室戰爭十二勝 (Clash Royale)

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小朋友很喜歡玩遊戲，皇室戰爭是他喜歡的遊戲之一，其中十二勝的戰鬥是他最感興趣的項目，以他目前的戰績只達十勝，今天的考題也與此遊戲有關。

一群人參加十二勝戰鬥，遊戲電腦主機會任意配對同勝績的兩人比賽，例如同為五勝的人就只能跟有五勝的人競賽，比賽的結果不是勝就是敗，沒有和局，當個人戰績累積三敗時就被淘汰，請問最少要有多少人參加，才能產生一個十二勝的贏家？

難度 ✩✩

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BBS 4-1.01 第三四家高花開叫發展

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討論原因

因為戰術性考量第三四家可輕開叫，再加上第一家曾 PASS，所以原叫牌系統應予修正，以處理下列問題：
1. 答叫者新花不再迫叫，開叫者可以 PASS
2. 當開叫者輕開叫時，答叫者的跳叫易使線位過高
3. 答叫者沒有使用迫叫無王必要性

答叫發展：

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訓練數學感 131 ─ 算獨

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小五數學題難倒家長。（文／三立新聞，圖／翻攝自《爆料公社》臉書） 

數獨在 21 世紀初很流行，現在又流行一種算獨，適合小學四年級以上訓練加減乘除練習，有興趣的人試看看。

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BBS 3-1.01 一階高花開叫

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開叫者：12-20 點，開叫高花至少五張
答叫者：手持 6 點以上，應予答叫，不應 PASS

答叫分類

一蓋一新花	答叫者6點以上，所叫新花四張以上
迫叫 1NT	答叫者 6-11 點，迫叫一圈，答叫者應有下列牌情之一： 1.弱性加一支持 ─ 可能弱牌，至少兩張支持 2.弱性加二支持 ─ 8 失墩，三張支持 3.弱性成局支持 ─ 7 失墩，三張支持 4.無王合約 ─ 9-11 點，平均牌型，不支持開叫者，門門有擋 5.二線新花束叫 ─ 0-8 點，不支持開叫者，六張以上牌組 6.三線新花邀請 ─ 9-11 點，六張以上牌組
傑柯比 2NT	答叫者至少四張支持開叫花色，有滿貫興趣，詢問開叫者力量及分配
答叫 3NT	答叫者 12-15 點，三張支持，牌型平均無短門，另一高花無五張牌組
二蓋一新花	答叫者 12 點以上，蓋叫花色四張以上
史賓特特約	答叫者 12-15 點，5-6失墩，四張以上支持，所叫花色單張或缺門，尋求滿貫
強性跳叫新花	(限於二線，若為三線以二蓋一為宜) 迫叫成局，帶一長門 嘗試滿貫，答叫者應有下列三種牌情之一： 1.一個堅強的長門花色，至少開叫牌力 2.對開叫人有強力支持且帶一長而堅強的旁門花色， 至少11點，6失墩 3.一門六張好的長門花色，18-19點， 而又屬無王的牌(無旁門單張或無擋)
支持開叫者花色	答叫者 6-11 點，四張以上支持，答叫者應有下列牌情之一： 1.加一支持 ─ 9 失墩 2.加二支持 ─ 8 失墩 3.加叫成局 ─ 7 失墩

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腳踏車的力學模式 三 (The Force Model of Bike During Turning, Part 3)

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近日在 FB 物理同好會社團，討論一篇腳踏車力學模式二問題，從討論串中給了我一個靈感，對此問題，重新描述數學模型，望請專家們給予指正。

圖左上方圓圈為人車的質心，因地心引力有一向下的力 mg，m 為人車的質量，g 為重力加速度，另外，腳踏車因轉彎等速圓周運動產生 f  離心力，這兩個力量以輪胎觸地點為支點，車身高度 h 為力臂，形成一個平衡力矩，讓車子不會倒下或直立，維持 θ 角度的傾斜。
Σ L = h(mg sin θ) - h(f cos θ) = 0

離心力 f 與車速 V 及迴轉半徑 R 有關，公式如下：
f = mV² / R

雖然找到轉矩平衡方程式，但是也要有輪胎觸地平衡方程式，維持 XY 座標不變，才能讓整個腳踏車力學模式完全平衡。F 為 mg 與 f 的合力，沿著車身向輪胎觸地點施力，X 軸產生 F sin θ 力量向右，Y 軸產生 F cos θ 力量向下。因此

Σ Fy = N - F cos θ = 0， N 為正向力，是 F cos θ 的反作用力
Σ Fx = μN - F sin θ = 0， μN 為摩擦力，也是 F sin θ 的反作用力

重新整理算式
從 Σ L 可得 R = V² / (g tan θ)
從 Σ Fy 可得 N = F cosθ
從 Σ Fx 可得 μN = μF cos θ = F sin θ
μ = tan θ

實際代入數值，分別得
θ = 90 - 53 = 37 度
μ = tan θ = 0.75
m = 80 公斤
V = 4 米 / 秒
g = 9.8 米 / 秒²

因 R = V² / (g tan θ) = 2.2 米，人車重心之曲線半徑。
重心與輪胎著地點之距離為 h sin θ = 0.72 米
因此，輪胎著地點起算的迴轉半徑為 2.2 + 0.72 = 2.92 米

F = mg cos θ + f sin θ
= mg cos θ + (mV² / R) sin θ
= mg (cos θ + tan θ x sin θ)
= 80 x 9.8 x (0.8 + 0.75 x 0.6) = 980 牛頓

車胎與地面摩擦力為 μN = F sin θ = 980 x 0.6 = 588 牛頓

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腳踏車的力學模式 二 (The Force Model of Bike During Turning, Part 2)

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近日剛加入 FB 物理同好會社團，並貼文請教以前一篇腳踏車力學模式問題，感謝社團的老師及高手們指導，讓我重新思考這個問題，本文就修正後再貼文，以前舊文仍保留比較參考，我對許多學問的理性追求，採取獨立思考研究，或許方法有錯誤，只要發現就改正，一天比一天進步就好。

言歸正傳，先看以前物理課本對腳踏車數學模式計算，覺得公式怪怪的。

課本的內容如下：
一人騎腳踏車以 4米 / 秒之速度繞過一彎路，此人讓車與地面傾斜53度角，人與車全重為80 kg，合併重心與輪胎著地點之距離為 1.2米，問轉彎半徑為若干？車胎與地面間的摩擦力多大？

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搖擺不止的長柄鍋

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接續訓練數學感 130 ─ 杯子有多少水？把杯子改成長柄鍋，因為我在洗碗時，看著長柄鍋像鐘擺一直搖擺不止，它裡面裝了一些水，我認為是這些水讓鍋子擺動非常久，請問水量與擺動周期的關係為何？

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BBS 2-1.01 一階低花開叫

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開叫者：12-20 點，開叫低花至少三張
答叫者：手持 6 點以上，應予答叫，不應 PASS

答叫分類

一蓋一新花	答叫者6點以上，所叫新花四張以上 當有四張高花及五、六張低花支持時，應先探尋高花配合 若有五張方塊及四張梅花，同伴開叫1C，應先答1D，即使點力夠顛倒支持
自然 1NT	答叫者無四張高花，通常 9 點以上平均牌，未叫牌組有擋 因使用顛倒支持系統，有時無適當叫品而選擇， 例如，同伴開叫 1D，持有 XX45 牌型 6點， 1D  ---  1NT --- (*)                       開叫者有15點以上，應繼續叫，其餘情形PASS
自然 2NT	答叫者 12-14 點，迫叫成局
答叫 3NT	答叫者 15-17 點，牌型平均
二蓋一新花 (1D -- 2C)	答叫者 10 點以上，蓋叫花色四張以上 若 9 點以下，一門四張高花及五張梅花，應先答叫一線高花
史賓特特約	答叫者 12-15 點，6失墩，六張以上支持，所叫花色單張或缺門，尋求滿貫
強性跳叫新花	迫叫成局，帶一長門 嘗試滿貫，答叫者應有下列三種牌情之一： 1.一個堅強的長門花色，至少開叫牌力 2.對開叫人有強力支持且帶一長而堅強的旁門花色， 至少11點，6失墩 3.一門六張好的長門花色，18-19點， 而又屬無王的牌(無旁門單張或無擋)
支持開叫者花色	使用顛倒支持 (Inverted Minor Suit Raises)，優點答叫者有好牌好配合時，保留叫牌空間以便叫上一局或滿貫，而壞牌時能夠竄叫，注意有其它叫品可選擇時，低花加叫應列為最後考慮，Kickback 黑木特約限用於，答叫者加一或二低花支持後，開叫者跳叫四線比王牌高一階花色，被競叫時，仍使用顛倒低花加叫。 1.加一支持 ─ 10 點以上，最多 8 失墩，四張以上支持，                      無四張高花，迫叫一圈 2.加二支持 ─ 6-10 點，8-9 失墩，五張以上支持，無四張高花 3.加三支持 ─ 6-10 點，7 失墩，無四張高花，                      此叫法少人使用，因可以錯失 3NT 4.加叫成局 ─ 6-10 點，6 失墩，無四張高花，對 3NT 不感興趣

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