訓練數學感 130 ─ 杯子有多少水？

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一直徑為 d 的杯，放置傾斜 θ 度，內裝高度為 h 的水，請問杯子有多少水？

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BBS 1-1.01 開叫分類與通則

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1C/D	12-20點，最少三張以上低花 (有12點力又無下表適合的叫品，暫替叫品)
1H/S	12-20點，最少五張以上高花
1NT	16-18點，平均牌型可能有五張低花，但通常不會有五張高花，若有五張較佳高花 (AJxxx 或 KQxxx 以上)，先高花開叫
2C	22點以上任何牌型，或21點以下至少九贏墩(含四個快贏墩)，至少迫叫至2NT以上，與手上的梅花無關，強牌
2D	弗蓮納瑞特約 (Flannery)，12-15點，四張黑桃與五張紅心
2H/S	弱二，好的六張牌組 (在第一、二家，至少有兩張大牌帶頭)，6-12點
2NT	21-22點，平均牌型，可能有五張牌組，門門有擋，不迫叫
3C-3S	正常阻塞叫，依照二三定律，通常七張牌組
3NT	25-26點，平均牌型，門門有擋，無五張牌組，若有五張牌組則通常有滿貫，應先開叫2C
4C-4S,5C/D	八張牌組，竄叫

開叫通則：

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訓練數學感 129 ─ 生成函數 (Generating Function)

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已知

$a(n)=11+42n+49n^2+18n^3\;\;\;\;\;\;\;\;n=0,1,2,3,\cdots$

$g(x)=11+120x+435x^2+\cdots+a(n)x^n$

請求 $g(x)$ 有理式型態的生成函數。
難度 ✩ ✩ ✩ ✩

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特斯拉線圈 (Tesla Coil)

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網友赤子西瓜在寒假中提問特斯拉線圈電路問題，先看影片

我覺得這實驗不難，有興趣的朋友可以仿製，

我弄一個線上電路模擬 http://tinyurl.com/h698ve2，可是不清楚一些電路參數難以模擬它的動作。

影片中線圈有變壓器功能，

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BBS D-1.01 牌力計算

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大牌點 (HCP)：

A  4 點，K  3 點，Q  2 點，J  1 點      一副牌共 40 點

快贏墩 (防禦墩)：

A  1 墩，K  0.5 墩，AK  2 墩，AQ  1.5 墩，KQ  1 墩

控制數：

控制不是點力，而是 A 和 K，一張 A 算成兩個控制，一張 K 為一個控制，

一副牌共 12 控制，所以平均每 3.3 點應有一控制，可用此推算同伴控制，

或是評估自己手上牌值，在王牌足夠下，旁門的短門可以有效取代控制 (能夠王吃)，

旁門缺門兩控制，旁門單張一控制

失墩數 (LTC)：

以往王牌合約，計算大牌點和分配點相當不精確，而失墩計算易忽略次級大牌 J、10 的組合，因此本系統採新失墩計算

原理

?   ┌──┐ ? │      │ ?   └──┘       K	當自己手上持有單張 K，請問取得該墩的機率為何？ ANS: 1/3，所以有 2/3 失墩
?   ┌──┐ ? │      │ ?   └──┘      Kx	若持有 kx，約有多少贏墩？ ANS: 2/3 贏墩，只要 A 不長在下一家即能吃到一墩，所以 1 1/3 失墩

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訓練數學感 128 ─ 找數列通項 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,...

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網友赤子西瓜寒假提供一題看似簡單又有深度的題目，就是尋找數列 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, ...  的通項公式，以及這數列的 n 項和。

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BBS C-1.01 特約一覽表

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2C 強二開叫	- 1.01	Strong 2C opening
強二二度負性答叫	- 1.01
弗蓮納瑞特約	A1.01	Flannery convention
弗蓮納瑞2NT特約	- 1.01
弗蓮納瑞低花特約	- 1.01
弗蓮納瑞轉換特約	- 1.01
弱二開叫	A1.01	Week two bid opening to follow rule of 6-5
奧蓋斯特約	A1.01	Step response to 2NT inquiry after week two bid
弱二CAB特約	- 1.01
弱二新花特約	- 1.01
低花顛倒支持	- 1.01	Inverted minor suit raises
低花Kickback黑木特約	- 1.01	Kickback Blackwood convention over minor suit
史賓特叫品	A1.01	Splinter
強性新花跳叫	- 1.01
第四門新花迫叫	A1.01	4th suit forcing
開叫者倒叫	- 1.01
倒叫雷本索爾特約	B1.01	Lebensohl convention
PLOB特約Hardy輔助叫法	- 1.01
兩門五五牌組跳叫	- 1.01
答叫者倒叫	- 1.01
迫叫無王	A1.01	1NT forcing response to a major suit opening
傑柯比2NT	A1.01	Jacoby 2NT
人為3NT高花支持	A1.01	Artifical 3NT major raise
高花長門邀請	- 1.01
高花王牌邀請	- 1.01
梅斯詢問叫	- 1.01	Mathe asking bids, MAB
輕開叫	- 1.01
反序德魯利特約	B1.01	Inverted Drury convention
滿貫示叫	- 1.01
哥柏特約	A1.01	Gerber convention over NT
4NT羅馬關鍵張黑木特約	A1.01	4NT convention
大滿貫迫叫	A1.01	5NT Grand slam force
不迫叫史蒂曼特約	A1.01	Non-Forcing Stayman responses to NT
傑柯比轉換叫	A1.01	Jacoby transfer bid after NT
低花史蒂曼特約	- 1.01
德州轉換叫	A1.01	Texas transfer bid after NT
高階低花史蒂曼特約	- 1.01
一無王三線新花答叫	- 1.01
三無王五線新花答叫	- 1.01
無王雷本索爾特約	B1.01	Lebensohl convention
無王逃叫特約	- 1.01
迫叫派司	- 1.01
負性賭倍	- 1.01	Negative Double
巧叫史蒂曼	- 1.01
巧叫支持	- 1.01
跳巧叫史賓特	- 1.01

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訓練數學感 127 ─ 十八啦

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過年家人團聚可以小賭熱場，十八啦是一個適合人多熱鬧的遊戲，玩個幾圈不錯，也能看出一年的運勢如何。

準備一個碗公及四顆骰子，假設有十個人玩，每輪每人同時押注，該輪點值最大者得勝獨得所有押金，若有同分者再 PK 直到有勝負為止。

點值計算方法：
1. 一色 (豹子)，四顆骰子點值都一樣，它贏過其它的組合，大小次序 六豹 > 五豹 > 四豹 > 三豹 > 二豹 > 一豹 > 其它
2. 重擲 (無面)，有三顆同點或是四顆都不同點時，就要重擲
3. 骰子有兩顆同點時，先扣掉這兩顆，然後將另兩顆點數合計比大小，最大稱「十八」(是 XX66，不是六豹)，最小為「逼機」(XX21)

現在問題為：
1.豹子的機率有多大？
2.無面的機率有多大？
3.逼機的機率有多高？

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