訓練數學感 27 ─ 倒水瓶

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倒水瓶是很傳統的益智問題，例如有兩個無刻度的水瓶，容量分別為 3 公升及 5 公升，那如何精確獲得 4 公升？

一、將 5 公升水瓶裝滿
二、把 5 公升水瓶倒滿 3 公升水瓶，5 公升水瓶剩 2 公升
三、將 3 公升水瓶水倒光
四、把 5 公升水瓶中 2 公升水倒倒 3 公升水瓶
五、將 5 公升水瓶裝滿
六、把 5 公升水瓶倒滿 3 公升水瓶，5 公升水瓶剩 4 公升

也可表示為，這需要六個步驟
1, 5/5 and 0/3
2, 2/5 and 3/3
3, 2/5 and 0/3
4, 0/5 and 2/3
5, 5/5 and 2/3
6, 4/5 and 3/3

簡單數學式 5 x 2 - 3 x 2 = 4

好，蒐集五題給有興趣的朋友解題，要最少步驟 (有的題目不只一種解法)，希望提供解答時，給予詳細步驟說明，最後要量的水倒到第一個水瓶，注意有三個水瓶。

一、0/15 and 0/19 and 0/4  → 5/15 and x/19 and x/4
二、0/14 and 0/17 and 0/7  → 12/14 and x/17 and x/7
三、0/19 and 0/16 and 0/3  → 8/19 and x/16 and x/3
四、0/13 and 0/19 and 0/6  → 3/13 and x/19 and x/6
五、0/14 and 0/5 and 0/19  → 12/14 and x/5 and x/19

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高階等差級數

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從月曆學數學一書中，學到另一高深應用數學 ─ 高階等差級數，例如

12 + 22 + 32 + ...... + n2

13 + 23 + 33 + ...... + n3

1‧2‧3 + 2‧3‧4 + 3‧4‧5 + ...... + n(n+1)(n+2)

現在就以 f (n) = 1² + 2² + 3² + ...... + n² 為例計算，先列表

    n   0   1   2   3   4   5   ......
  f(n)  0   1   5  14  30  55   ......
 ∆f(n)  1   4   9  16  25  ......
∆2f(n)  3   5   7   9  ...... 呈現等差
∆3f(n)  2   2   2   2  ......
∆4f(n)  0   0   0   0  ......

∆f(n)=f(n+1)-f(n)
∆2f(n)=∆f(n+1)-∆f(n)

因為到第二階就呈現等差現象，所以 1² + 2² + 3² + ...... + n² 稱為二階等差級數

我們知道一階等差級數 1 + 2 + 3 + ...... + n = n (n+1) /2 是二次式，
那二階等差級數會是三次式 f (n) = 1² + 2² + 3² + ...... + n² = an³ + bn² + cn + d

由

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訓練數學感 26 ─ 8 人合作問題

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有八人共同組隊參加羽球雙打，七天賽程當日搭檔安排後不能更換，怎樣安排可以每天有四組不同組合，使每個人都跟不同隊友合作打球？

難度 ✩✩✩✩

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泰勒级数 (Taylor series)

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許多代數式都可以表示為



這稱之為泰勒級數展開，如果 a = 0，則改稱為馬克勞林級數展開 (Maclaurin series)



如果缺少了這些級數展開，許多電腦數學函數就會計算不出來，在對數一文有一計算式



其實它就是一種級數展開，如果電腦要計算三角函數或自然指數，就需要下列算式求值

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在北瀚科技與陳鍾誠教授一場相會

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圖片引自北瀚科技

金門大學的陳鍾誠助理教授 (我還是喜歡稱他為陳教授) 7/17、18 兩日來台北請教北瀚科技公司高手，如何利用 SMIMS 這套軟體系統在 FPGA 上以 Verilog 或 VHDL 語言設計 CPU，因為他想指導學生利用 FPGA 驗證計算機概論中的理論。

今天親自與會，清楚了解陳教授的開放電腦計畫 ─ 自己動手做一台電腦，這裡的親手做一台電腦是主要的電子零組件都自己設計自己組裝，學生可以明瞭整個計算機運作的原理，也清楚如何實作應用，這樣畢業求職馬上可為企業僱用。

在現代許多數位產品，少不了數位半導體，這些東西以往多是電子工程師將零組件在電路板上連線組合，但現在 (其實已經近 30 年歷史) 這些半導體元件都可以封裝在 FPGA IC 內，透過 Verilog 語言 (語法很像 C 語言) 就可變更 IC 功能，你想要 CPU、RAM、ROM、正反器及相關數位電路元件都可以自己設計，輸出入 pin 腳也可以自行指定。聽完這場研討會，我的第一個直覺是

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訓練數學感 25－ 燒繩子

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圖片來源 http://sucai.sioe.cn

燃燒一根不均勻的繩子，從頭燒到尾總共需要 20 分鐘。現在有若干條材質相同的繩子，問如何用燒繩的方法來計時 25 分鐘呢？

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中國餘式定理 (Chinese remainder theorem)

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在橘子多少個一文，網友行天下提到中國餘式定理一詞，其實就是現代版的大衍求一術，以代數式來求解，今補充內容。

以前文所舉的例子，
X ≡ 2 (3)     ‧‧‧ X 除 3 餘 2
X ≡ 1 (5)     ‧‧‧ X 除 5 餘 1
X ≡ 5 (11)   ‧‧‧ X 除 11 餘 5

其實我們要解的代數式如下：
X = R₁*N₁*M₁ + R₂*N₂*M₂ + R₃*N₃*M₃ + R₄*N₄*M₄ (mod Z)

R_n 是餘數
R₁ = 2

R₂ = 1

R₃ = 5

Z   是所有除數的乘積
Z = 3*5*11 = 165

N_n 是自己除外，其餘除數的乘積
N₁ = 5*11 = 55

N₂ = 3*11 = 33

N₃ = 3*5 = 15

大衍求一

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輸入手機號碼就知道你的年齡

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你的手機號碼末碼
乘二
加七
再乘五十
再加1664
減掉你的出生西元年份 (四位數)
百位是你的手機末碼
而十、個兩位是你的年齡

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天體的秘密 ─ 萬有引力 (Newton's law of universal gravitation)

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有沒有想過人類從未親自登陸太陽系其它行星，可是科學家卻能估算每個行星的重力？

這要感謝牛頓發現萬有引力公式，科學家才能解決這個難題。以萬有引力與等速圓周運動的向心力，可以找到天體的秘密，我整理了一個太陽系行星比較表，有興趣的同學可以參考看看。

比較表格中塗顏色的地方，是數據有誤差的地方需要修正，留給專家指點改進，一個是木星的萬有引力係數，另一個是重力常數 g (H 欄資料來自維基百科太陽系條目)。木星的萬有引力係數部分，如果不是木星軌道半徑偏大，就是公轉週期偏小。行星重力常數部分，我是很懷疑那個八大行星比較表的數據來源。

回歸主題，公式代號說明：

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訓練數學感 24 ─ 橘子多少個？

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一籃橘子，三個一堆餘一，五個一堆餘二，七個一堆餘三，十一個一堆餘五，請問總共多少個橘子？

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