OEIS A274119 數列的故事 (2003倍數)

https://4rdp.blogspot.com/2016/06/oeis-a274119.html

這篇寫給非數學專業的朋友參考，2016 端午好運接「粽」而來，這段時間我與網友們聯合申請幾個數列成功，在此除了以較淺顯易懂的方式介紹 OEIS A274119 數列的故事，分享我們的喜樂之外，希望藉由這個故事，讓有志於數學研究的朋友參考，看能不能有更多有趣的數學新發現。

一切的故事從一題 2003 倍數開始，它是我小朋友學校所出的資優數學考題，題目是：
請問 (1 x 3 x 5 x ..... x 2001) + (2 x 4 x 6 x ..... x 2002) 是否為 2003 的倍數？

平時小朋友會分享學校有趣的題目，考驗看我會不會解，天啊，這題數目之大，一般計算機是算不出來的，還好我會用 Python 寫程式，可以驗算答案可以整除，但是個人並非數學系畢業，同時把這題目放在部落格上看有沒有精簡有效解法，那時沒有想到 modular arithmetic 可以輕易證明答案是整除的，這方法是網友 z423x5c6 所提供。

甚麼是 modular arithmetic？簡單說除法餘數可以加減乘除，看看幾個例子就懂，
5 / 11 = 0 ... 5
2 / 11 = 0 ... 2
(5 + 2) / 11 = 0 ... 7
(5 x 2) / 11 = 0 ... 10
(5 + 11) / 11 = 1 ... 5
(5 - 11) / 11 = 0 ... -6

A / B = C ... D 在數學上除法餘數會用右式表示，A ≡ D mod B
只要證明 (1 x 3 x 5 x ..... x 2001) + (2 x 4 x 6 x ..... x 2002) ≡ 0 mod 2003，就可解出來，
(1 x 3 x 5 x ..... x 2001) + (2 x 4 x 6 x ..... x 2002)
≡ [1 x 3 x 5 x ..... x 2001 + (2-2003) x (4-2003) x (6-2003) x ..... x (2002-2003)] mod 2003

≡ [1 x 3 x 5 x ..... x 2001 + (-2001) x (-1999) x (-1997) x ..... x (-1)] mod 2003

≡ [1 x 3 x 5 x ..... x 2001 - 2001 x 1999 x 1997 x ..... x 1] mod 2003

≡ 0 mod 2003     整除

在求解題目時，與網友赤子西瓜同時發現如下規則，

(1 + 2) / 3 = 1

(1 x 3 x 5 + 2 x 4 x 6) / 7 = 9

(1 x 3 x 5 x 7 x 9 + 2 x 4 x 6 x 8 x 10) / 11 = 435
以及香港網友 flyingdusts 的提醒，1, 9, 435, ... 在 OEIS 是一個全新數列，還沒人申請，因此大家聯名登記了這個數列 A273889，我們四人都不是職業數學家，網友 flyingdusts 是香港一所小學的中文老師，沒錯就是中文老師不是數學老師，但對業餘數學非常熱愛；網友 z423x5c6 是一位維基百科的貢獻者，正準備就讀香港一所大學；網友赤子西瓜，雖然是一位國中一年級的學生，由於他的勤學，整體文化程度早已超過同齡的學子；而個人只是一位資深電子產品開發者，從我們的例子，可以了解數學的研究可以跨界合作，它也不是數學家專屬的工作，其實數學蠻貼近日常生活，只是大家沒特別留意而已。

OEIS (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences，整數數列線上大全)，它是數學家尼爾·斯洛恩 (Neil James Alexander Sloane) 在1960年代中開始搜集整數數列，於 1996 年設置網站供大眾查閱，然後每年有上萬件各類研究者提供新數列登錄，從 A273889 就知道這是第 273889 號數列。

我們怎麼會知道這個全球性的數學資料庫？再把時間往前推移三年，在 2013 年暑假，我的小朋友當時考驗我一題總和 22，這題目的解法正是最近一部電影「天才無限家」主角拉馬努金所研究領域之一 ─ 整數分拆問題，為了求解它而開始研究 OEIS 數列。

計算數列的目的，個人原先以為只是為了科學研究，但研讀一些 OEIS 數列後，才發現有人用它記錄音樂旋律甚至數位圖檔！？其實 OEIS 資料庫登記的數列，以排列組合的數量佔最大宗，並且這個資料庫，現在約以每月上千筆資料的速度在增長。三年前查了一下，全台灣約十二人登記會員，有數條數列被核可，上千條資料補充，對數列有興趣的朋友可以加入研究行列，這甚至小學生都可以參加 (不過要會英文及寫程式)，只要一張紙一枝筆以及一顆沉靜的心，應該可以尋找到自己的數列，就像天文學家在浩瀚的星空中尋找未名的星星一樣。

不過請注意，OEIS 是一個數列資料庫，許多科學論文與其連結，因此它要求刊登的內容必須正確無誤，並且具有實質意義的數列，而非硬湊出來的，除了內容說明以英文撰寫外，還須附上程式，如果知道公式也附上，建議數列項目100項以上，可以與他人聯名發表，並以真名發表，否則應該不會正式刊登。


在登錄 A273889 數列後，由於 z423x5c6 遲未申請 OEIS 帳號，無法將他同列數列作者群中，等他申請好了要加名，OEIS 專家多數人持反對態度，並不認同他的數學證明貢獻就可以列名，因此鼓勵他另外申請一個他發現的三重階乘的 A274117 數列，

(1 + 2) / 3 = 1

(1 x 4 x 7 + 2 x 5 x 8) / 9 = 12

(1 x 4 x 7 x 10 x 13 + 2 x 5 x 8 x 11 x 14) / 15 = 1064

同時，網友 z423x5c6 也發現 IBM 的研究員 Chai Wah Wu 受到 A273889 證明的啟發又找出數列 A273983，表示這系列數列的新發現受到專家肯定，他發現的數列是，

(2 x 4 - 1 x 3) / 5 = 1

(2 x 4 x 6 x 8 - 1 x 3 x 5 x 7) / 9 = 31

(2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 - 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x 11) / 13 = 2745

受到這些數列研究的啟示，想找一個可以整合這些數列的公式，想出來之後，又再想有沒有通式可以整除，結果還真被我想到，

因此用它申請了 A274119，第一個以 Bridan formula B(n,k,a,b) 公式申請的數列 ，
(2 x 2 x 2 x 2 x 2 + 1 x 1 x 1 x 1 x 1) / 3 = 11
(2 x 3 x 4 x 5 x 6 + 1 x 2 x 3 x 4 x 5) / 7 = 120
(2 x 4 x 6 x 8 x 10 + 1 x 3 x 5 x 7 x 9) / 11 = 435

以及第二個 B(2n+1,1,2,1) 數列 A274136，

(2 x 3 - 1 x 2) / 4 = 1

(2 x 3 x 4 x 5 - 1 x 2 x 3 x 4) / 6 = 16

(2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 - 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6) / 8 = 540

最後補充一些花絮，申請 A273889 數列時，網友 z423x5c6 未能列名，個人覺得非常遺憾，如果沒有他的幫助是不可能找到這麼多數列，因此在 OEIS 討論版以事實陳述並強烈推舉 z423x5c6 的貢獻，終於獲得 Sloane 首肯而名列作者群中，從這裡學到的經驗是正面的貢獻可以極力爭取應有的榮耀。還有申請數列時，了解台灣部落格文，美國竟然沒辦法直接閱讀，竟然要七十多歲的 Sloane 翻牆過來，光想像這畫面就又為這篇故事橫添一筆趣味！

圖片來自 奧瑪的抉擇：翻牆藝術

目前找出這些數學式的感想為，以前大家都是在尋找一維的數列變化，但以後可能會出現很多這類二維數列 (數列之間的關係)，這算是這系列數列的創舉，暑假將至，有興趣的朋友可以嘗試用 B(n,k,a,b) 尋找質數數列 (2,3,5,7,11,13,...)，到目前為止，還沒有人可以完整找到質數數列，如果你找得到，數學史絕對會記錄你的大名，因為目前是以數學質數保護密碼系統不易被破解，以前數學家採用多項式尋找，而現在多了一樣工具，或許可以挖到寶藏，從別人的研究再發現，科技的發展就是這樣慢慢進步的。

延伸閱讀

OEIS A276449 數列的故事 (旋轉碰碰棋)