2017年10月19日 星期四

訓練數學感 151 ─ 關於對蹠點問題研究 Antipodes Study Part 2

http://4rdp.blogspot.com/2017/10/151-antipodes-study-part-2.html?m=0

前文,網友赤子西瓜自己提問一個對蹠點問題,他已經充分了解如何解析這問題,就嘗試和同學一起研究運動方程式,現在把部分成果展現,並且也加入我的一些網友意見,大家共同創作,有興趣的朋友歡迎加入。

首先看西瓜的研究原文,說明對蹠點問題的解。

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為了解決這一題,我將地球切成上下兩半,如上圖,C、D為兩半球的質心。
現在開始計算k。
由於上下兩個半球是軸對稱形體,所以取一半圓形薄膜計算質心即可。在此令密度為ρ。

假設兩函數:
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圖形如下(圖形為R=1時的範例):
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將區間[-R,R]縱切分為n個子區間,寬度Δx。假設第i個子區間中心為xi,將對應第i個子區間想像成一個高f(xi)-g(xi)的長方形。
則此長方形的質量mi為
(密度)(高度)(寬度)
mi=ρ[f(xi)-g(xi)]Δx
想像此長方形的質量集中在中心,則mi對x軸的質矩Mx
(質量)(距離)
Mx=ρ[f(xi)-g(xi)]Δx[f(xi)+g(xi)]/2
  =(1/2)ρ[f(xi)-g(xi)][f(xi)+g(xi)]Δx
取n→∞,積分求總和,然後除以半圓的質量,即可得到質心的y座標。(而質心的x座標為零,顯而易見。)
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(y bar為質心縱座標、A為半圓面積。)
因此k=4R/3π。

​再次回到原圖。假設物體m在路徑AB上的動點P。令OP向量為物體的位置向量r(t)、上下兩半球質心指向物體的兩向量d1(t),d2(t),且兩者大小相等、d1(t),d2(t)與r(t)夾角θ、沿著CP、DP作用的萬有引力Fg1,Fg2。
首先,根據萬有引力定律:
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接著觀察下圖。
​將θ經過簡單的內錯角;Fg1、Fg2適當的平移,就可以得到上圖。
此時,就可以計算Fg1:
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觀察上上圖之後,發現最右邊的cosθ與|d(t)|,則可以如此代換:

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代換後:
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將Fg的絕對值去除,需要考慮方向,此時假設一單位向量r^,方向和r(t)相反。
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根據牛頓第二運動定律,Fg=mg,這裡g即為r(t)的二階導函數。接著,將m消除,稍加整理。
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在此|r(t)|得以去絕對值。因為r^和|r(t)|方向相反,所以結果會是-r(t)。最後,帶入k=4R/3π。
(我去翻了寄件備份,發現我當時竟然忘了這個負號!)
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結果即是此微分方程式。
其實,個人比較喜歡以下形式:
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看到這裡我有些傻眼,現在中學生真是厲害,竟然會微分方程,一般這是大二工程數學才學的東西!我所知道,以微分方程列式,通常表示這物體是一個運動中的物體,以力平衡或力矩平衡來列式,所以用力平衡的列式是對的。

微分方程這東西,從我畢業到現在,工作中從未被用過,因為通常可以轉化成高中數學可以解決的數式。不過因為有計算機的關係,有時會以差分方程來處理,然後用程式處理,例如數位濾波器。

我是覺得這題目很適合放在科展比賽,但是卻又超出程度。


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這裡是網友 z423x5c6 的意見:

難以想像西瓜只是一個中學生!於我看來整個計算過程論證正確、嚴謹,最後得出的微分方程為典型的簡諧運動方程式,亦符合預測。

看畢證明,我想到了兩條加分題:
一)若擲球時給予它一個橫向初速,管子的形狀應該變成怎樣,才能令球保持運動?
二)同上,斜向初速。


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這裡是網友行天下的意見:

1. 不好意思,看到赤子西瓜的表示與演算,我想,就把這問題推廣到更深層的物理與數學。
基本上,球體內的受力,重力場的演算,在國高中是被忽略的。畢竟數學工具及想像欠缺,只好略而不提。
但可以使用概念方式猜測,可能發生的現象到底是甚麼...  
2. 很基礎的物理與數學,都把問題簡化成為以前可以了解的模式,我想赤子西瓜有做到了。
3. 講重力或球體的引力,物理都把模型簡化成為質點,我想我這幾張紙,應該有把質點拓展成為球體了。
4. 第二頁講的是 Newton's shell therom. 應該這部分都是在課本中被略過的。
5. 簡諧運動牽扯到幾個東西,受力、速度、加速度之間的關係與變化;或者有另一種觀點是位能、動能間的互換。用微分方程表示很快。
6. Bridan 兄,處理電方面,用 LC 震盪最快。 反正學多了,就套用一個自己熟悉的物理模型,一通百通。 

**  PS: 我並不喜歡使用微分方程的表示方法。原因是工作中,絕大部分的同事在學過工數,考完工數之後,都把東西還給老師了。
要跟他們解釋微分方程,還得花一番功夫。不如用最簡單國中數學或者概念來講來得直接、明瞭。

觀念,解析問題,跟演算過程,尋找答案的過程,遇到障礙的過程,先假設,然後試著找出特殊解(球心處),然後推廣,
但推不下去,最後不得不使用大絕招來處理中空球體的問題....

算是很有意思的過程。  我已經不太記得學生時代對於中空球體內的受力是怎麼來的,應該是直接記憶結果,中空球體內受力為0吧。

另外,這原本的題目,應該是使用動能與位能互換是最快的解決方法。

Newton's Shell Theorem 網路有搜尋到:
應該跟我演算的內容一樣吧 (或大同小異)

關於 SHM模型在此題中是如何推導出來的?
我簡述一下,就不做推導
Case 3 中,有把 Ftotal 寫下。其中地球內部小球質量 Mm  可以直接用 M , r , rm 三者做變換,最終推導出最後一頁右上的那兩圖。

縱軸 F,橫軸 r, 當 r =0 到 地表,這三角形面積正好是位能所作的功。 g 隨 r 線性變化。
這裡的 g 就套到彈簧振子中F=-kx,彈簧振子的加速度 = -kx/m = -(k/m)*x。大概就可以推導出來了。


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然後是西瓜自己的總結:

謝謝行天下的說明。我懷疑自己算錯了。我上面推導的微分方程,似乎不是SHM的模型。SHM的微分方程應是如此(截自維基百科):
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上面以微分方程的分類來說,是「二階一次常係數齊次線性常微分方程式」,解出來,x=Acos(ωt-φ),A,ω,φ為其他常數。
而我上面推導出來的微分方程:
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化簡後應該是「二階二次變係數齊次非線性常微分方程式」。
我將SHM的通解(Acos(...))代入,但是在左邊的根號運算上碰到了瓶頸。
接著,我試著假設r(t)恆為正,化簡之後,利用分離係數法解此方程,遇到複雜的積分丟給SageMath計算,得到的結果不堪設想,是一個冗長的函數,
而且要得到r(t),要再取一次反函數(比如ln|f(x)|=μt+C ,變成f(x)=exp(μt+C)),結果不堪設想,更何況是討論r(t)為負、為零的情況了。

看到您推導Newton's Shell Theorem,我在研究此題的時候有翻到維基頁面,
不過當時忽略了。我只有看了幾遍頁面上的積分動畫、瀏覽數式,覺得好玩,就關掉了。
我想,錯誤可能出在:牛頓的萬有引力只能用在質點,頂多用Shell Theorem推廣到球體(球心),如果用其他形狀,不能直接利用質心來計算距離,不然是無效的。
我也想請問一下,SHM模型在此題中是如何推導出來的?

還有,看到行天下提到,不禁想起,自己第一次學到SHM,就是在LC電路!(哈,竟然不是從彈簧開始。)


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最後,謝謝各位朋友專業的討論,這篇文章的深度是本部落格有史以來最難的一篇,有興趣的人好好品味,另外,已經有方程式了,再來就是求解微分方程,這又是另一個挑戰。

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