無論飛機或船艦都需要定位，因為在空中或大海上不像在陸地上可以循著道路行進，並且隨處有顯著的路標或地標可以辨識身在何處。而定位的技術根據人類科技的演化逐步精確，從早期觀察日月星辰以及指南針使用，可以粗略知道方位。但是這些無法滿足航海及航空需求，因為天候不佳時無法觀察天體，而磁羅經會因為地磁偏移產生誤差，所以需要其它定位儀器協助。本文先討論 GPS(Global Positioning System 全球定位系統) 座標計算，有空將再專章介紹陀螺儀羅盤(Gyrocompass)。
近年來GPS蠻火紅的，不少產品有此功能，比如汽車導航或高階手機。GPS 共有 24 顆衛星 (包含三顆備用衛星)，分佈在六條相交30度的軌道上，任何地方只要能接收四顆衛星資料，就可以計算出在地球上的位置，在此僅討論座標計算的問題。
以地心為三度空間零點，XY 軸在赤道平面上，X 軸貫穿經度 0 度與180 度，Y 軸貫穿東西經 90 度，Z 軸貫穿南北兩極，距離地心半徑 R 的球體方程式為， X2 + Y2 + Z2 = R2
在這個立體座標上以點 (a,b,c) 為球心，半徑為 r 的球體方程式是，
(X – a)2 + (Y – b)2 + (Z – c)2 = r 2
GPS衛星傳遞的訊號包括衛星自身 (a,b,c) 座標資料以及發射時間，那麼 GPS 接收器就可以利用這些資訊計算位址。首先計算衛星與接收器間的距離 r = 光速 x (接收器接收時間 - 衛星發射時間) 。
假設現在有四顆衛星資料，
用四顆衛星計算，可以將二次方程式組問題簡化為一次線性代數計算。
a 為地球橢球的長半軸，b 為地球橢球的短半軸，
已知 (X,Y,Z) 座標，參考大地座標系可求出緯度 B 經度 L，
延伸閱讀：
GPS - Clock Error of Receiver
最小平方法 (Least Square) ，求解多顆衛星計算
GPS - Distance Error
2010 補充資料：
土地測量(Land Surveying)方面的問題，想要知道地理座標所在，GPS只是測量方法之ㄧ，也許您可以到國土測繪中心 http://www.nlsc.gov.tw/ 找到更專業的說明。
本文是本部落格最具人氣的專業文章之一，因此許多人留言及引用，下列為已知引用文：
市立高雄高工，陳俊榮，http://www.shs.edu.tw/works/essay/2008/10/2008102820101989.pdf
中山大學物理系，http://www2.nsysu.edu.tw/physdemo/docs/exp10/exp10doc3.pdf
大隻熊的部落格，http://blog.udn.com/mhwu1/4555469
德霖技術學院資訊工程系，http://b007.w2.dlit.edu.tw/ezfiles/7/1007/img/108/118.pdf
新ubuntu2404，新尹倉1120
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Ubuntu24.04
每次ubuntu系統出新版本，我的更新都是滯後的。最新的ubuntu2404.iso已經超過6G，估計是因為加入了大量中文字體致使體積大增。我十多年來一直當作系統盤的4個G的U盤再也裝不下了，最終我決定把一個32G的U盤當系統安裝盤。
昨晚研究了multibootUSB好久，最終引導不...
1 天前
這算式是甚...甚...甚麼...?
回覆刪除如果您已經高中畢業 這樣的計算式 應該看得懂
回覆刪除不然您得複習：
解析幾何(球體座標)、線性代數(陣列)、三角函數
多謝你的網站，讓我知道了原理。雖然我的數學不佳，但也獲益不少。
回覆刪除(我一直也偑服數學好的人...)
別客氣，我不清楚您的學歷背景，不過數學力是可以培養的。
回覆刪除一般日常生活，小學數學就足夠了，中學的幾何與代數可以處理簡單的工藝問題，對於解析幾何、線性代數、三角函數、對數，這些都是工程師的基本數學知識，工程數學與機率統計則需要微積分的基礎。
如果想成為優秀的軟體設計師，學好數學，對你會有很大的加分。
其它的文章，也希望能給你助益。
非常感謝你的分享 其實我是為了做報告才找到這裡的 借用一些數學公式請見諒
回覆刪除你自介提的 網路巨變元年 我會去借來看
雖然不是獲益良多 因為很多看不懂 但看了你的部落格 心裡多了一些想法 謝謝~
成立此部落格，就是要幫助有求知需求的朋友，多觀察、多閱讀、多思考。這裡發佈的文章，是經過自己消化吸收，有個人獨創見解，在其他地方應該是找不到。
回覆刪除很高興您能留言表達意見。
從wiki關於GPS的資料鏈接找到這裡。您給的公式很清楚，終於明白為什麽要4顆衛星來定位了。也知道怎么計算了。謝謝！
回覆刪除其實三顆衛星資料也可以計算位置，但是需要求解三元二次方程式，反而更複雜。
回覆刪除這裡只是留下個人所學所知，其實研發就是利用大家所知的知識，開發出商品，有空常來逛逛，說不定有新發現。
相當精采！感謝你的資料提供！！
回覆刪除另外我在另一個網站上找到相關資料，我覺得他裡頭的等式似乎有問題，在d1前的c (光速)的 + 號是否應該改成 = 號？不知你覺得如何？
link: http://www.autooo.net/Html/communication/Communication-Case/2007-6/4/07640625.html
謝謝您的稱讚，您所提供的連結，網頁公式確實需要修正為等號。
回覆刪除這是我第一次看到其它網頁提出類似的公式，也許還有其它網頁有類似公式，但是有明確的數學式推導，這裡應該是台灣第一站。
剛好在查 GPS 資料時路過貴站, 透過這些數學公式總算知道手上的 PDA GPS 定位原理.
回覆刪除非常感謝你的分享.
另外, 最開始的四式公式似乎有標示錯誤, 每式的最後一個變數應該是 Z 而不是 Y ?
Hi Den,
回覆刪除感謝您的指正，公式已修正。
如果有發現其它錯誤，煩請告知。
謝謝。
Hello Bridan
回覆刪除We're looking for an Algorithm RD Ast. Manager. Could I know how to contact you directly?
Thank you~
Here's my company website for your ref. www.longood.com.tw
Best regards,
Jocelyn
Hi Jocelyn,
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Unfortunately, I am afraid have to reject your kind invitation at the moment.
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回覆刪除You are welcome.
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Thank you.
Best regards,
Bridan
小弟數學不太好, 最近要作一個類似 GPS 的系統. 在空間中, 利用數個已知座標與未知點的距離, 算出未知點的座標.
回覆刪除為了這個問題, 查訪了網路上許多文件, 路過貴寶地, 感謝大大您大方的寫出計算方式. 不過大大您寫的公式, 與 GPS 計算座標的作法, 有一點出入.
GPS 會先假設接收機的時鐘與衛星的時鐘有誤差. 所以四個衛星的測得的距離, 還包含一個時間上的誤差, 成為四個未知數的聯立方程式, 並非如大大所列的公式. 希望有機會可以看看大大解出包含時鐘誤差的公式. 謝謝!
Hi Bernie,
回覆刪除我並非 GPS 相關產品的研發人員，個人只是將所知所學融會貫通，整理出重要公式。
確實我所列的式子，是假設接收器的時間與衛星時鐘同步，關於時間誤差問題，我會另外專章說明。
很高興您能提出問題，我想您應該是研究生，這部分您應該也有能力解出，有興趣的讀者，可以先自行閱讀 http://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System 。
小弟不是研究生, 畢業至今已15個年頭, 一半以上的知識都還老師了. 不過在大大您的鼓勵下, 小弟還是試著去解這個代數題.
回覆刪除首先在距離 r1, r2, r3, r4 上加入未知數 - 誤差 e. 如大大您的計算的方式, 在 1-2, 2-3, 3-4, 4-1 之後, e 的二次變數一併被減掉. 為了消去 e 成為三元一次聯立方程式, 所以在新的方式程中乘上 e 的係數互減, 消去變數 e 之後, 成為新的三元方程式.
但是很奧妙的是, 小弟用電腦模擬計算這個結果, 發現用行列式在解 x, y, z 時, delta 都固定是 0 (無解或無限多解)...
後來重新由幾何去思考, 小弟有了一個新的想法. 與已知點距離為 d, 可以構成一個球面. 但是如果加入了一個變數 e (誤差), 這個球面就變成了球殼.
這個題目變成要由四個球殼上求得交點. 兩個球殼的交點是一個環, 但是兩個環的交點, 應該是一個線段, 而非一個點. 所以電腦模擬出 delta 固定是 0, 應該就是意味著非單一解.
後來小弟試著把已知點由四個改成五個, 這樣電腦模擬就可以順利計算出 x, y, z 及 e.
這時, 小弟就不禁開始好奇, GPS 定位是只需要四顆衛星的訊號, 就可以定位為正時, 好神奇, 不知怎麼作到的!
Hi Bernie,
回覆刪除原來 39 是指年齡！OK，在我正式貼文前先簡略答覆您的疑點，重點在 "校正"。
每個出廠的GPS產品，工廠可以先求出個別的時鐘誤差，將它紀錄在機器中，消費者使用時只要有四顆衛星就能定位。
希望您能參透我所說明的玄機。
您好，我是一個普通的大學本科學生，通過搜索引擎來到這裡。
回覆刪除多謝您的網站，很少能看到如此清晰的原理解析，非常感謝您的指導。
但是，我有一疑問,如果不考慮誤差e的話，那麼您給出的四個原始方程中僅有三個未知數，爲什麽一定要4-1.3-1.2-1把四個方程變成3個方程呢？
還有，後來您說誤差e可以提前校正，我也有不同的看法。我感覺移動設備的時鐘精度是比較低的，運行時會誤差會經常變化。
我的想法就是，在您的公式中，如bernie所言，加入誤差e，直接4個方程四個未知數求解，不知是否可行？
希望得到您的指導，謝謝！
很高興您留言提問題，只是不知如何稱呼？
回覆刪除我喜歡以淺顯易懂的方式，說明解釋難懂的原理，通常讀者有一般水準，應該可以理解吸收，這裡每篇文章仔細閱讀，應該可以讓您有所獲益。
言歸正傳，將四個三元二次方程式，利用相減計算，簡化成三個三元一次方程式，可以降低電腦解算時間不是很好嗎？況且多元二次方程式組，很難利用線性代數(陣列)去解算，所以才會利用這樣的數學技巧，化為多元一次方程組求解。
關於時鐘精度，確實沒有東西可以保證自身毫無誤差，包括衛星上的時鐘，因為 GPS 商品它必須利用時鐘精確計算座標，所以它選用的晶體振盪器零件誤差規格應該在 20 ppm 以內，而且頻率是非常穩定的，也就是時間不會忽快忽慢，因此時間誤差是非常穩定。
研發養成所還有多篇討論 GPS 專文在 航海天文分類，其中 GPS - Clock Error of Receiver 有討論 error e， 歡迎您查閱。
您好！謝謝您留言指導，看了您的知道後，頗有豁然開朗之感，真的很感謝您。
回覆刪除另外，我看了您的GPS - Clock Error of Receiver后，感覺第二種方法，實質上，是認為高度z=0，那麼，它應該就是增加的一個方程吧。
對了，我的名字是趙暉。
再次感謝您的指導！
趙暉您好，很高興能與你網路相識。
回覆刪除關於第二個方法，把地表當成一個球，這個新增的方程式為 X^2 + Y^2 + Z^2 = R^2 ，因為那個假想衛星在地心，XYZ 座標在 (0,0,0)，R 為地球半徑。不過 GPS 商品應該不會使用這方法，誤差會很大。
Dear Bridan:
回覆刪除日前我用google app inventor可以約略計算透過手機的gps找出兩處異地的經緯度求其距離。
如果我想用google app inventor去找兩點經緯度的方位角，不知道我該如何實現此部分?
薛老師您好，
回覆刪除想求方位角，須利用球面三角學的正弦定律，假設一球面三角形 ABC ，其邊長為 abc ，而對邊角為 ABC ，那球面三角形的正弦定律為，
sinA/sin(a) = sinB/sin(b) = sinC/sin(c)
假設 A點為起點，B點為終點，C點為北極或南極，那就可以求出起點角度A。
不知這樣的題示，可否理解？我會準備一篇專文討論這問題。
薛老師, 我寄一份app inventor code給您, 可以計算現在位置與台北101之間的距離.
回覆刪除阿吉老師好:
回覆刪除謝謝您提供的檔案。日前我自己也有以app inventor完成做過經緯度測距，目前剩下方位角未搞定。
之前曾見過有一個ipad軟體(http://app.yipee.cc/iphone/concierge-car-locator-%E7%B0%A1%E5%96%AE%E6%89%BE%E8%BB%8A%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E8%BB%9F%E9%AB%94/)
他可以找出車子停車的位置，與當前位置兩點間的方位。
我覺得很有趣，所以想自己試試看。
阿吉與薛老師兩位好，
回覆刪除兩位老師已經先聊起來了 ^_^，昨天正好與阿吉老師吃飯，談起薛老師遭遇 APP inventor 問題，本週計畫先介紹阿吉的新書，下週再談論航海學的大圈航法，了解這原理後，就可以算出兩地的距離及方位，敬請期待。
我用google app inventor搭配samsung galaxy tab的gps，讀取經緯度的資料。發現gps抓回來的數據，本身會與所在之處有誤差的情形。
回覆刪除我也試著用手機上的軟體google map定位我目前所在之處，確實其落點是錯誤的，與正確的點，相差有30~50m左右。這是合理的嗎?
當然，因為誤差，所以計算兩點經緯度，測距離以及方位，都會有嚴重影響。
不過papago在導航時，卻又能準確落在正確的道路上?
不知您有何看法?
薛老師您好，
回覆刪除關於GPS座標誤差問題，需要靠其它方法修正，因為你直接引用 App Inventor 的 API，我不知道它內部如何計算處理，你可以有兩種方式解決，
一、用其它的 API，最好是可以取得原始衛星座標資料，自己列式計算。
二、利用其它感測器輔助，如加速度、電子羅盤等，再加上軟體識別地圖路線，找出座標位置。
我覺得手機抓到的經緯數據與地圖上有誤差，經查詢網路上的資料發現：
回覆刪除地圖上的經緯度與實際上地圖有誤差，是為了軍事保密之用，因此在經緯度與地圖之間存在一個偏移量，因此出現在地圖上的落點，便與所處的位置不同。
不過據最新資料，有網友討論說「google map已將偏移的計算plugin在地圖中，暫時無法得知計算的偏移公式。
換句話說：如果要使用google map，似乎得接受偏移量的事實。否則自己得找出偏移值。
薛老師您好，
回覆刪除謝謝補充資料，從軍事角度來看，故意在地圖上製造偏移，可以防止敵人鎖定攻擊，不過由以前學航海的經驗，海圖是精確的，不然大船擱淺不得了，我認為 GPS 有分級，軍用較精準，商用存在較大偏差，需要其它方法修正。
其實三顆衛星就夠了吧。。。三顆衛星的解是兩個點，分別在三顆衛星組成的面的兩邊。除非你三顆衛星的面通過地心，不然不會兩個點都在地表。通常情況下如果只有三顆衛星的訊號，三顆肯定靠近地球的同一端，兩個解一個在地表一個在空中。嘛，其實也就是變向把地球當成第四顆球。。
回覆刪除你很清楚三顆衛星會解出兩個點，GPS必須精準算出位置，不然會出事情的，因此用四顆衛星求解才是正道。
刪除