2019年3月11日 星期一

訓練數學感 206 ─ 跑操場

http://4rdp.blogspot.com/2019/03/206.html?m=0

 有 ABC 三人在環形操場跑步，三人同時同位置同方向起跑，每個人的速度很穩定，30 秒後 AB 首先相遇，60 秒後 BC 相遇，請問誰跑最快？誰第二？什麼時候 AC 會同時相遇？

這題是小朋友從 AMC8 獲得的靈感，簡單但是有陷阱。

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6 則留言:

  1. flyingdusts2019年3月11日 下午1:29

    感覺誰跑最快都可能啊

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    1. Bridan2019年3月11日 晚上7:31

      抱歉，語意疏漏，補充環形跑道、同位置起跑。這樣應該可以解題。

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  2. flyingdusts2019年3月13日 上午11:12

    30秒後AB相遇，即是一人比另一人多跑了一圈。
    60秒後BC相遇，同理。
    其中B出現兩次，猜測他不是最快就是最慢。
    （如果他速度居中的話，則另兩位應該率先相遇。）
    設B每圈用時X秒，
    如果B速度最快：
    則A每圈用時為30 /（（30-X）/ X）= 30X /（30-X）
    C每圈用時為60/((60-X)/X) = 60X / (60-X)
    CA兩數值相比為60X / (60-X) ：30X /（30-X）
    =60-2X ： 60-X (0<X<30)
    此數值小於1，故C用時較短，速度較快
    ……
    --------------------------------
    這個方法很繁瑣
    --------------------------------
    AB每30秒相遇一次，BC每60秒相遇一次，
    AC也應是每60秒相遇一次。（LCM）
    首次相遇的雙方一定是最快和最慢，則C是第二。
    --------------------------------
    如果把題目中的時間數字改一改，不剛好是2倍的話，會更難些。

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    1. Bridan2019年3月14日 凌晨12:05

      嗯，有兩種速度狀況，一是 B>C>A，另一是 A>C>B，其它要再想一下。

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    2. Bridan2019年3月14日 晚上9:09

      環型相遇週期，可用下面公式計算，$T_{A}$表示A轉一圈所需時間，$T_{B}$表示B轉一圈所需時間，
      $T_{AB}$表示AB相逢所需時間，這裡假設 A 的速度比 B 快，
      $\frac{1}{T_{A}}-\frac{1}{T_{B}}=\frac{1}{T_{AB}}=\frac{1}{30}$
      $\frac{1}{T_{C}}-\frac{1}{T_{B}}=\frac{1}{T_{CB}}=\frac{1}{60}$
      $\therefore \frac{1}{T_{A}}-\frac{1}{T_{C}}=\frac{1}{T_{AC}}=\frac{1}{30}-\frac{1}{60}=\frac{1}{60}$
      AC每60秒相遇一次，反之 B>C>A 也一樣，所以老師的解答為正解。

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  3. Bridan2019年3月14日 晚上9:29

    加分題，在環形操場跑步，ABC 三人同時同位置起跑，只有 A 方向不同於 BC，每個人的速度很穩定，30 秒後 AB 首先相遇，60 秒後 BC 相遇，請問 BC 誰跑最快？什麼時候 AC 會同時相遇？

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