2017年5月14日 星期日

訓練數學感 137 ─ 弧形面積

http://4rdp.blogspot.com/2017/05/137.html?m=0

請計算畫線範圍的弧形面積。

難度 ✩✩✩

這題從 高中數學問題討論區(含高中數學免費線上學習網) FB 看到，這題讓我想起從小學時代就有的難題，http://4rdp.blogspot.tw/2009/08/quadrilaterals.html

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8 則留言:

  1. .2017年5月14日 下午5:09

    這題也是相當經典。
    小學五年級時看到，當時還不會解，是時候來挑戰了!

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    1. Bridan2017年5月14日 晚上8:35

      會三角函數解這題就容易多了。

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  2. .2017年5月14日 晚上10:44

    我算出來是
    25arccos(sqrt(2)/4)-100arccos(5sqrt(2)/8)+25sqrt(7)/2
    =14.63812595303478247594795603569273444245192919532469576672...

    我點進去看了，我的解法和討論區內畫的輔助線相同。解法大致無異。
    此題沒有三角函數概念，好像就無解了......所以試圖用國小國中算法的同學可能要傷腦筋了。

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    1. Bridan2017年5月15日 晚上8:31

      正解，能解這題目，確實需要高中程度。

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  3. 行天下2017年5月16日 晚上9:31

    http://imgur.com/a/XS0gT
    這樣可以看出來，只使用國小國中的計算方法了嗎?
    Note: 只看上半大圓形，或看 1/4個大圓。

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  4. Bridan2017年5月17日 上午11:56

    謝謝行天下補充，從西瓜的答案有根號無理數，可以看出這題是不會有小學生解，從行天下的圖可以列出許多小面積的多元方程式，但似乎還少一條獨立方程式而無法求解，基本上需要借助輔助線來解題，我再準備一文，讓大家想想解法。

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  5. .2017年5月17日 晚上11:19

    我有發現一個性質，不知道可不可用。
    半徑10的大圓的四分之一會和半徑五之圓的面積相等。雙方同扣掉「盈凸月」(我是這麼稱呼它的。)就可以得到殘月面積(所求)等於扇形內部的三小塊面積。

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    1. Bridan2017年5月18日 上午8:20

      西瓜謝謝你提供新線索，可惜它並非獨立方程式，無法用多元一次方程式組求解。

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