開根號求解

http://4rdp.blogspot.com/2008/04/blog-post_9406.html?m=0

可能有人會好奇，計算機如何求得開根號數值計算，這裡提供個人所知的兩種方法。

方法一：長除式演算法，可直接筆算求平方根值。

運用 (a + b)²- (2a + b) b = a²，初值 a = 0，反覆求 a 的後一位數值 b 。

例 Square(152.276)

  1  2. 3  4
 ------------   列式時以小數點為基準，兩位兩位一組。
/ 1 52.27 60    (2a + b) b
  1           = (2 x 0 + 1) x 1 , a = 0
 ------------
    52
    44        = (2 x 10 + 2) x 2 , a = 10
 ------------
     8 27
     7 29     = (2 x 120 + 3) x 3 , a = 120
 ------------
       98 60
       98 56  = (2 x 1230 + 4) x 4 , a = 1230
 ------------
           6

　

方法二：以牛頓迭代法計算求解

X = A^1/N，將 A 開 N 次方根，

X_n+1 = [(N-1)X_n + A/X_n^N-1]/N ，(N＞0)

N = 2 時 ，A＞1，1＜X_n＜A
X_n+1 = [X_n + A/X_n]/2 ，(挑選適當的 X_n 初值可以快速收斂，只要計算兩三次就可得到正確數值)

其原理為，

X = [X + A/X]/2
2X = X + A/X
2X² = X² + A
X² = A
X = A^1/2

方法二是我從 Engineering Formulas 這本書學到的，此書為 Reiner Gieck, Kurt Gieck 合著 McGraw-Hill 出版 ISBN 9780070234550，它是我在公司文管中心發現的寶藏。

市售的計算機，開平方根通常利用二進制的長除法計算，任意次方計算會以對數或是利用牛頓迭代法求解。

在網際網路尚未發達前，這類工具書對工程師是非常重要的，尤其需要常常查工程或數學公式很有用。

授權程式人雜誌 2014 三月刊文

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快速估算根號近似值    2023/10/26 補充