2014年12月3日 星期三

訓練數學感 45 ─ 落地要多久？

http://4rdp.blogspot.com/2014/12/45.html?m=0

圖片來源 科學大冒險
在離地二十公尺高的天橋上，讓一顆一公斤重石頭以自由落體的方式落下，假設不受空氣阻力影響，重力加速度為 10 m/sec^2，請問從手放掉到石頭落地，需多久時間？四捨五入計算至小數第一位。


這題目的靈感來自網友薛老師的考題。

標籤：

7 則留言:

  1. 薛老師2014年12月10日 晚上7:44

    其實我是開車時經過新埔的遠東紡織廠，看到天橋，突然的靈感。 哈哈!

    回覆刪除
  2. 薛老師2014年12月10日 晚上8:02

    t=sqrt(2h/g)=sqrt(40/10)=2(sec)

    回覆刪除
  3. Bridan2014年12月10日 晚上9:21

    正解。

    加分題，雖然圖上有公式提示，但是考考直覺，依據物體等加速運動，已知加速度 10 m/sec^2，初速為零，一秒鐘後為 10 m/sec，第二秒速度為 20 m/sec，那兩秒鐘時間，如果無障礙情形，石頭應該落下 10 + 20 = 30 m 。請問這樣推理哪裡錯誤？

    回覆刪除
  4. 薛老師2014年12月11日 上午9:02

    v=gt，為等加速度運動，v-t呈現線性關係，然位置與時間(X-t)卻非線性關係，而是呈現拋物線的曲線。
    若就一秒鐘後為 10 m/sec，第二秒速度為 20 m/sec，推理這段時間(0~2s)的位置共走30m並不合理，因為0~1秒並非恆為10m/s，且1~2s的速度亦非恆為20m/s，而是在時間變化的過程中，速度不斷增加，所以不能以這樣的觀念去解釋。

    回覆刪除
    回覆
    1. Bridan2014年12月11日 晚上10:07

      謝謝老師專業的說明，
      進階題，不要用微積分，以小學生的方法，能否推導出 y = 0.5*g*t^2，的結論？

      刪除
  5. 薛老師2014年12月11日 晚上10:29

    若能貼圖用圖解，直接看圖就可以。
    用文字說明的話，我就概略說吧。
    V=gt，所以可以在V-t平面座標第一象限，畫一條通過零點的斜直線。
    位移=速度x時間
    所以v-t圍起來的面積，就是移動的位移。
    假設初速度為V1，經過t時間後的末速度為V2
    v-t圍起來的面積，恰為一梯形。
    上底=初速度V1,下底=末速度V2
    高=所經過的時間t
    所以面積=位移=(上底+下底)*高/2
    =(V1+V2)*t/2
    又末速度V2=初速度V1+加速度a*時間t
    所以位移=[V1+(V1+a*t)]*t/2
    =(2V1+at)*t/2
    =V1*t+(1/2)*at*t

    因自由落體V1=0且加速度a=重力加速度g
    所以原式可改寫為位移=(1/2)*gt*t


    回覆刪除
    回覆
    1. Bridan2014年12月12日 下午5:07

      謝謝老師詳細說明，我簡單總結，
      這自由落體問題可以轉化成三角形求面積問題，時間 t 當作三角形的底，初速為零，末速 = gt 把它當作三角形的高，而面積就是物體運動的距離總和 y = 0.5*gt*t。如果物體初速不為零時，就變成計算梯形面積問題。
      而這個加速度 g 相當於三角函數的 tan

      刪除

訂閱： 張貼留言 (Atom)