對數 (logarithm)

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以前曾經寫文說明開根號的數學計算，今天就說明工程計算機另一重要計算功能 ─ 對數。

對數的發明，是因為數學家想簡化算數乘除計算的繁瑣，對數的方法於1614年被約翰·納皮爾 (John Napier) 在 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio  (Description of the Wonderful Rule of Logarithms) 書中首次公開，而對數符號 log 來自拉丁文 logarithm，是由義大利數學家卡瓦列里 (Cavalieri，1598 - 1647) 所提出。

對數的觀念簡單的說，把數值乘除轉換成數值加減，在計算機發明前需要查表換算，加減計算後再反查表求出最後答案，因此有人發明計算尺，解決查表換算問題。

log(X*Y) = log(X) + log(Y)
log(X/Y) = log(X) - log(Y)
log(Xa) = a * log(X)

另外，為了區別以 10 為基底及超越數 e (Euler's number) 為基底的對數，數學習慣分別表示為 log(X)和 ln(X)，而計算機語言喜歡用 log10(X)及 log(X)表示。在日常應用方面，由於人類對外界感覺的魯鈍，也運用了許多對數的觀念，例如，聲音用分貝、地震用芮氏規模、天文觀測用星等，意思是訊號要變化很大，人們才會有所感覺。

回歸主題，本文的要點為計算機如何計算對數值？在資料型態認識─浮點數 (single ＆ double) 一文提到，任何正實數可以表示為 $R=2^{n}\cdot u$，$n$ 是整數，$1 \leq u < 2$，那

$\color{Red}{\ln{R}=}\ln{(2^{n}\cdot u)}=\color{Red}{n\ln{(2)}+\ln{(u)}}$

接下來就要思考如何計算 $\ln{(u)}$，這需要
從等比級數和說起，令 $Y$ 為等比級數和，將它減掉與 $x$ 相乘的值等於 1，因此 $Y$ 可得一個生成函數 $\frac{1}{1-x}$。

$Y=1+x+{x}^{2}+{x}^{3}+\cdots$

$xY=x+{x}^{2}+{x}^{3}+{x}^{4}+\cdots$

$Y-xY=1$

$Y=\frac{1}{1-x}=1+x+{x}^{2}+{x}^{3}+\cdots\: \: ,\: |x|< 1$

如果要讓等比級數和 $Y$ 收斂等於生成函數，其要件為 $|x|＜1$。然後將 $Y$ 對 $x$ 積分可得，

$\int Ydx=\int \frac{1}{1-x}dx=-\ln(1-x)+c=x+{\frac{x^{2}}{2}}+{\frac{x^{3}}{3}}+\cdots+c$

$-\ln(1-x)=x+{\frac{x^{2}}{2}}+{\frac{x^{3}}{3}}+\cdots$

將上式 $x$ 改以 $-x$ 代入

$\ln(1+x)=x-{\frac{x^{2}}{2}}+{\frac{x^{3}}{3}}-{\frac{x^{4}}{4}}+\cdots$

然後兩式合併

$\ln{\frac{1+x}{1-x}}=\ln(1+x)-\ln(1-x)=2x+2{\frac{x^{3}}{3}}+2{\frac{x^{5}}{5}}+\cdots$

可能有人看到這裡，覺得越搞越複雜，其實這是計算機快速收斂最好的方法，因為計算 $\ln{(1+x)}$ 將需要計算更多項次才能達到更好的精確度，如果要精確到小數第 $n$ 位，必須算到 $x^{2n+1}$ 。那如何求出 $x$？令

$\color{Red}{\ln{u}=}\ln{\frac{1+x}{1-x}}=\color{Red}{2x(1+{\frac{x^{2}}{3}}+{\frac{x^{4}}{5}}+\cdots)}$

$u=\frac{1+x}{1-x}\Rightarrow {\color{Red}{x=\frac{u-1}{u+1}}}\: \:,1\leq u<2\Rightarrow 0\leq x < \frac{1}{3}$

以上是超越數 e 為基底的對數計算，若想計算以 10 為基底的對數可以利用下列公式換算

$\color{Red}{\log{R}=\frac{\ln{R}}{\ln{10}}}$

授權程式人雜誌 2014 七月刊文