GPS - Clock Error of Receiver

http://4rdp.blogspot.com/2009/07/gps-clock-error-of-receiver.html?m=0

先前 GPS 座標計算一文，許多讀者來文指教，其中 Bernie 指出缺少接收器的時鐘誤差，的確前文假設接收器的時鐘與衛星的時鐘同步，因此本文將加入這項誤差並推導公式。

首先修正
衛星與接收器間的距離 = 光速 x (接收器接收時間 –衛星發射時間 + 接收器時鐘誤差)
也就是
　　　　　　　　　　i 表示衛星編號 1 ~ 4

現在重新列出 GPS 座標計算公式

先用 Bernie 的方式推導

現在先簡單檢驗這四個方程式相互關係，依據線性代數，方程式相互加加減減，並不會影響計算結果，這也就是為什麼可以計算方程式 (5) = (1) - (2)，但是用 Bernie的方法，那麼方程式 (5) + (6) + (7) + (8) = 0，將會獲得無解的結果，就沒什麼好奇怪了。

那麼來看看其它算法，可否四顆衛星解出答案？

先看 (B) + (D) = (3) – (1) + (2) – (3) = (2) – (1) = (A)，這代表方程式 (D) 是多餘的，因此只有三個有效方程式，但是有四個未知變數，那麼會有無限多組解。

不知道接收器的時鐘誤差時，若有五顆衛星，就可以四元一次方程組求解。




後續推導，一般讀者應該可以自行完成。

如果只有四顆衛星，那能否求解接收器的座標？答案是可以的，我想出三種方法。

方法一，求解四個四元二次方程式，這需用 Multidimensional Newton-Raphson 數值方法求解。

方法二，如果在地球表面，將地表當成一個球，可再加入一個新方程式，求解四元一次方程組。

方法三，接收器出廠前，工廠先將時間誤差校正好，也就是生產時求出接收器時鐘誤差，把它紀錄在接收器中，因為這是固定誤差，不會隨時間而變，只是每個接收器的誤差不同，必須個別校驗，使用者使用時就可以求解三元一次方程式。

PS. 如果有些算式過長右邊被遮住，可以點選計算式進一步查閱。