2016年4月27日 星期三

訓練數學感 97 ─ 分幣比賽

http://4rdp.blogspot.com/2016/04/97.html?m=0

兩人輪流分幣,直到所有錢幣被分成獨立一個一個為止,沒辦法分幣的人就輸了,例如有三枚硬幣,第一個人分幣成 1+2,第二個人把兩個硬幣再分成 1+1,此時第一人已經沒辦法再分幣,他就輸了。

請問錢幣總數 99 個,由你開始分幣,如何分幣才能獲勝?


這題在訓練邏輯思考。

20 則留言:

  1. 沒錯,騙不了老師慧眼,只要奇數硬幣,先分的人都輸。

    現在遊戲規則稍微修改,一樣分幣分到沒辦法分為止,分幣過程只要有分出單一硬幣,這枚硬幣就歸屬分幣的人,勝負就看誰的硬幣多。

    假設有四枚硬幣,先分的人分成 1+3,那第一位可以先得1枚,第二位分成 1+2,第一位再分成 1+1,總結第一位得 3 枚,第二位 1 枚。如果第一位是分成 2+2,第一位這一輪沒有得到硬幣,第二位分成 1+1+2 得兩枚,第一位再分 1+1,總結第一位得 2 枚,第二位得 2 枚。

    現在有 99 枚等值硬幣,由你開始,該如何分幣才能勝出?

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    1. 每輪至少拿一枚,先拿的也是必勝吧?

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    2. 如果你採取這樣的策略,那我也一樣每次取走一枚,當我取走倒數第四枚時(剩三枚),我們是平手,接下來你就會輸一枚。

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    3. 那就在剩六枚的時候分出3,3
      XD

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    4. 要再往前推算,看來後手剩 12 枚時,分出 5+7,才有致勝機會。

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  2. flyingdusts 一則留言不見了,補貼如下

    我提一個玩法,仍是看誰拿得多:
    仍然是從99枚硬幣開始分,分出指定數目的硬幣可以拿走,指定數目硬幣由1枚起開始遞增。
    例如,先手玩家分成1+98,則他可以拿走分出的1枚硬幣。
    後手玩家分成2+96,則他可以拿走分出的2枚硬幣,依次遞增。
    玩家也可以選擇從1重新開始分硬幣。
    例如,先手玩家第二輪可以選擇分成3+93而拿走3枚硬幣,或是分成1+95而拿走1枚硬幣。
    如果他選擇第二種情況的話,則指定硬幣數目回歸為1。
    而第二輪後手玩家不能選擇4+91而拿走4枚,如果他想拿走硬幣的話,最多只能選擇2+93拿走2枚。
    **幾種殘局情況的解釋:
    *假設在上一位玩家拿走8枚硬幣後,硬幣最後被分成了如下幾堆:
    3,3,1
    這位玩家可以選擇把3分成1+2,他從而可以拿走1+1+2+3 共計7枚硬幣!
    *假設在上一位玩家拿走3枚硬幣後,硬幣最後被分成了如下幾堆:
    6,7,8,9
    這位玩家可以選擇把9那堆分成4+5,他從而可以拿走4+5+6+7+8 共計30枚硬幣!
    ------------------------------------------------
    這個玩法應該仍有固定的先手或後手勝利的套路,請嘗試找出。

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    1. 就先對規則一說明

      分出指定數目的硬幣可以拿走,指定數目硬幣由1枚起開始遞增。
      例如,先手玩家分成1+98,則他可以拿走分出的1枚硬幣。
      後手玩家分成2+96,則他可以拿走分出的2枚硬幣,依次遞增。
      玩家也可以選擇從1重新開始分硬幣。

      基本上,第二手玩家選擇比第一手玩家多拿一枚硬幣的策略,這樣後手的玩家每一輪可以多贏一枚。

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    2. *假設在上一位玩家拿走8枚硬幣後,硬幣最後被分成了如下幾堆:
      3,3,1
      這位玩家可以選擇把3分成1+2,他從而可以拿走1+1+2+3 共計7枚硬幣!
      ====================

      這部分內容我看不懂,依據新遊戲規則,剩餘的硬幣怎麼會被分成 3+3+1 ?

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    3. 例如:上一輪3,3,9,指定數目為7,
      這時玩家把9分成8+1,他可以拿走8,但不能拿走1,
      因為他開始選了拿走大於等於8的硬幣枚數,不能再同一輪中再選1。

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    4. 再加一個例子
      *假設在上一位玩家拿走5枚硬幣後,硬幣最後被分成了如下幾堆:
      12,7,7
      這位玩家可以選擇把12分成6+6,他他從而可以拿走6+6+7+7 共計26枚硬幣!

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    5. 想到可以分幣但不取的規則,就可以分出 3,3,1 之類的排列。

      還有你提議的順排規則,有限制只能用於殘局嗎?還是中局就可以用?以上面為例,剩 12,7,7,10,可以取走 6+6+7+7 而留下 10 枚嗎?

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    6. 按我最初的想法是可以的。

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    7. 如果中局可用,那得小心被對手利用,例如,
      先手者分 3+96 (指定1),後手者分 3+2+94 (指定2),這樣不就被後手者取得 3+2

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    8. 分而不取時,指定數不會增加。
      後手者分 3+2+94時,不能指定2,因為對手上一手沒有取走硬幣。

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    9. 懂了這新加入的遊戲規則,有了這指定數以及順號全拿,這遊戲變局就很難估計,當硬幣夠多,說不定比圍棋還複雜。

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  3. 假設A先手,B後手
    2枚硬幣時,最後A拿2,B拿0;(A:1,1=2,B:0)
    3枚硬幣時,最後A拿1,B拿2;(A:1,2,B:1,1=2)
    4枚硬幣時,最後A拿3,B拿1;(A:1,3,B:1,2,A:1,1=2)
    5枚硬幣時,最後A拿2,B拿3;(A:1,4,B:1,3,A:1,2,B:1,1)
    6枚硬幣時,最後A拿4,B拿2;(A:3,3,B:1,2,3,A:1,1,3,B:1,2,A:1,1)
    ...
    歸納得知,
    (2i)枚硬幣時,最後A拿i+1枚,B拿i-1枚;
    (2i+1)枚硬幣時,最後A拿i枚,B拿i+1枚。
    99枚硬幣時,先手A拿49枚,後手B拿50枚獲勝。
    這樣的解法不知道正不正確?

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    1. tora 很高興認識你,從答題感覺你很有耐性,解題的思緒清晰,想必也是數學愛好者,你的答題應該是針對
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      遊戲規則為一樣分幣分到沒辦法分為止,分幣過程只要有分出單一硬幣,這枚硬幣就歸屬分幣的人,勝負就看誰的硬幣多。

      假設有四枚硬幣,先分的人分成 1+3,那第一位可以先得1枚,第二位分成 1+2,第一位再分成 1+1,總結第一位得 3 枚,第二位 1 枚。如果第一位是分成 2+2,第一位這一輪沒有得到硬幣,第二位分成 1+1+2 得兩枚,第一位再分 1+1,總結第一位得 2 枚,第二位得 2 枚。

      現在有 99 枚等值硬幣,由你開始,該如何分幣才能勝出?
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      你的推論是對的,只要雙方不要自作聰明用一些奇怪方法而產生不同的結果。

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    2. 我的推論的確是基於雙方都盡力拿最多硬幣的前提下所產生的結果。
      也謝謝站長的分享還有這個網頁,讓我可以有機會動動腦。

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    3. 歡迎常來,想認識你,如果願意可以在 http://4rdp.blogspot.tw/2014/01/2014-reader-survey.html 留個資料,謝謝。

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