2014年1月4日 星期六

方形面積差定理 (Square area difference theorem)

http://4rdp.blogspot.com/2014/01/square-area-difference-theorem.html?m=0

有一數學作業題,知道長方形長 160 cm,寬 60 cm,另一正方形的周長跟這長方形周長是一樣的,試求兩者面積差?

小朋友寫功課時,發現它有一個速解,

正方形邊長 = (160 + 60) / 2 = 110 cm
兩者面積差 = (110 - 60)2 = 2500 cm2

為了確定他沒亂寫,仔細推算確實是正確的,
(110 - 60)2
= 1102 - 110 x 60 - 110 x 60 + 602
= 1102 - 110 x 60 - (110 - 60) x 60
= 1102 - 160 x 60

從他的發現,讓我聯想到上圖紅色區域的面積,正好是正方形及矩形面積的差,通解推導:

a = c + d
正方形面積 = a2
長方形面積 = c (a + b)

當 d = b
兩面積差 = a2 - c (a + b) = a2 - ca - cb = da - cb = d (a - c) = d2

這個速算法使用的限制:必須正方形和長方形的周長相等

我稱這個算法為方形面積差定理,發現者 Andy Wang (汪翔安),以茲鼓勵他努力多發現一些數學定理。

其實這題也證明了 a2 - d2 = (a + d)(a - d)

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