Applied Optimal Estimation 這本書是我在研究所讀書時，系統鑑定 (System Identification) 上課時所用的教科書，主要探討 Kalman Filter 的應用，它最早被 NASA 使用在阿波羅太空船軌道預測，如果你不清楚控制系統的數學模型，它可說是一種特殊 IIR 數位濾波器，假若知道系統數學模型，它可以擴展來估測系統參數，例如船舶整體質量無法直接測量，但可以透過航行運動軌跡估算出來，它厲害在能夠動態估測系統並濾除測量雜訊。
好不囉嗦，直接看方程式，這裡提供一般性濾波器應用，有興趣的朋友可以利用它去除雜訊，尤其當你遇到控制很不穩定又不清楚系統結構時，仍可使用它濾除大部分雜訊，應用範例可參見薛老師的文章，一般工程師不會想到用它解決問題，因為原理深奧難以理解，需有工程統計學知識，很多人可能沒聽過，或是不懂就不會用。
System Model
Measurement Model
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Xk = Ak-1 Xk + Wk-1, Wk ~ N(0, Qk)
Yk = Hk Xk + Vk, Vk ~ N(0, Rk)
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Initial Condition
Other Assumption
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E[X(0)] = X0, E[(X0 – X0) (X0 - X0)T] = P0
E[Wk VjT] = 0 for all j, k
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State Estimate Extrapolation
Error Covariance Extrapolation
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Xk(-) = Ak-1 Xk-1(+)
Pk(-) = Ak-1 Pk-1(+) Ak-1T + Qk-1
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Kalman Gain
State Estimate Update
Error Covariance Update
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Kk = Pk(-) HkT [Hk Pk(-) HkT + Rk]-1
Xk(+) = Xk(-) + Kk [Yk – Hk Xk(-)]
Pk(+) = [1 – Kk Hk] Pk(-)
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模型簡化 A = 1，H = 1
System Model
Measurement Model
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Xk = Xk + Wk-1, Wk ~ N(0, q)
Yk = Xk + Vk, Vk ~ N(0, r)
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Initial Condition
Other Assumption
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E[X(0)] = X0, E[(X0 – X0)2] = P0
E[Wk VjT] = 0 for all j, k
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State Estimate Extrapolation
Error Covariance Extrapolation
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Xk(-) = Xk-1(+)
Pk(-) = Pk-1(+) + q
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Kalman Gain
State Estimate Update
Error Covariance Update
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Kk = Pk(-) / [Pk(-) + r]
Xk(+) = Xk(-) + Kk [Yk – Xk(-)]
Pk(+) = [1 – Kk] Pk(-)
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Wk ~ N(0, q) 表示 Wk 是一個常態分布的隨機變數，均值為零，變異數 σ2 = q
E[X(0)] = X0 表示 X(0) 期望值(平均值)為 X0
E[Wk VjT] = 0 for all j, k 表示 Wk Vj 兩隨機變數正交互為獨立
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