2024年12月8日 星期日

訓練數學感 390 ─ 求圓面積

http://4rdp.blogspot.com/2024/12/390.html?m=0

一圓內有兩直線相互垂直，以之三線段長度分別為 2、3、6，求該圓面積面積大小。

難度 ✩✩

解題關鍵在輔助線。

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6 則留言:

  1. ejsoon2024年12月8日 上午11:14

    我算得圓面積為65π/4

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  2. Bridan2024年12月8日 中午12:59

    正解，有興趣可求通解

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  3. ejsoon2024年12月8日 下午2:24

    我是設兩個未知數求解的：
    設半徑為r，3所在的線段是x，則有
    x^2+16=4r^2
    r^2-16=(0.5x-3)^2

    則算得x=7

    不知道輔助線的解法是否原理相同？

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  4. Bridan2024年12月8日 下午3:49

    先求 2-6線段 上方線段 a 長度，兩弦相交會等於線段乘積，因此 3a = 2*6，a = 4
    再線段 6 上方會有一個直角三角形，斜邊長為 r，底邊長 (2+6)/2 = 4， 高 = 4 - (3+4)/2 = 1/2
    依據畢氏定理 r² = 4² + (1/2)² = 65/4

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    1. ejsoon2024年12月8日 下午5:31

      明白了，這是圓冪定理/相交弦定理。

      https://zh.m.wikipedia.org/zh-tw/%E5%9C%86%E5%B9%82%E5%AE%9A%E7%90%86

      對這個定理一點印象都沒有了。可能初中都沒有學過。

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    2. Bridan2024年12月9日 上午8:52

      相交弦定理經常出現在數學資優題中，一般中學數學課不會教。

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