高階等差級數

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從月曆學數學一書中，學到另一高深應用數學 ─ 高階等差級數，例如

12 + 22 + 32 + ...... + n2

13 + 23 + 33 + ...... + n3

1‧2‧3 + 2‧3‧4 + 3‧4‧5 + ...... + n(n+1)(n+2)

現在就以 f (n) = 1² + 2² + 3² + ...... + n² 為例計算，先列表

    n   0   1   2   3   4   5   ......
  f(n)  0   1   5  14  30  55   ......
 ∆f(n)  1   4   9  16  25  ......
∆2f(n)  3   5   7   9  ...... 呈現等差
∆3f(n)  2   2   2   2  ......
∆4f(n)  0   0   0   0  ......

∆f(n)=f(n+1)-f(n)
∆2f(n)=∆f(n+1)-∆f(n)

因為到第二階就呈現等差現象，所以 1² + 2² + 3² + ...... + n² 稱為二階等差級數

我們知道一階等差級數 1 + 2 + 3 + ...... + n = n (n+1) /2 是二次式，
那二階等差級數會是三次式 f (n) = 1² + 2² + 3² + ...... + n² = an³ + bn² + cn + d

由

f(0) = d = 0
f(1) = a + b + c + d = 1
f(2) = 8a + 4b + 2c + d = 5
f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 14

得

∆f(0) = f(1) - f(0) = a + b + c = 1
∆f(1) = f(2) - f(1) = 7a + 3b + c = 4
∆f(2) = f(3) - f(2) = 19a + 5b + c = 9

∆2f(0) = ∆f(1) - ∆f(0) = 6a + 2b = 3
∆2f(1) = ∆f(2) - ∆f(1) = 12a + 2b = 5

及

∆3f(0) = ∆2f(1) - ∆2f(0) = 6a = 2

因此

a = 1/3，b = 1/2，c = 1/6，d = 0
f(n) = 12 + 22 + 32 + ...... + n2 = n3/3 + n2/2 + n/6 = n(n+1)(2n+1)/6

高階等差級數係數 a、b、c、d，除了可用 f (0)、f (1)、f (2)、f (3) 求得，
也可以用 f (0)、∆f (0)、∆²f (0)、∆³f (0) 求之

Cnr = n(n-1)(n-2)......(n-r+1)/r!
f(n) = Cn0f(0) + Cn1∆f(0) + Cn2∆2f(0) + Cn3∆3f(0) + ......
= 1*0 + n*1 + n(n-1)/2*3 + n(n-1)(n-2)/6*2 = n(n+1)(2n+1)/6

大家通常只記得中學所學的等差級數以及等比級數，把這類型題目留給專家去研究，其實早在中國古代就會利用高階等差級數方法求一元高次多項式係數，來解決天文觀測方位計算。