訓練數學感 367 ─ 訊息傳遞

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訊息傳遞的人際網絡 (Bing Image Creator)

一群 1990 人，他們每個人至少認識另一個其他人，他們之間沒有任何孤立的小群體，一個新訊息傳給他們之後，隔天他們才會再傳遞給認識的人，首日要傳訊息給指定的人讓他們把消息傳出去，經過 10 天後，全部的人都知道該訊息，請問首日最少要告訴多少指定的人知道消息？

難度 ✩

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1+2+3+ ..... = -1/8

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現在看到這種無窮級數和會令人錯亂，先收錄下來，以後再看到不一樣的答案也不覺得奇怪。

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AI 生成軟體

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近日在 FB 上看到網友 VK Xuan 推薦一些 AI 生成軟體，因此我製作這篇文章記錄這些網址，以便日後需要時可以找到。

1. Runway ─ 影片生成，可用文字、上傳照片生成

2. Mokker ─ 生成產品照片，一鍵去背，40 張免費照片

3. Adobe的Firefly ─ 文字生成，填色，文字效果

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訓練數學感 366 ─ 夾角是多少？

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如上圖，兩個等大的正方形共用 A 點，請問兩條紅線相交所形成的 ∠DGE 是多少？

難度 ✩✩

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Python 程式練習 6 ─ 螞蟻碰撞幾次

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螞蟻在格子內碰撞 (Bing Image Creator)

今天剛好是 2024 龍年正月初一，祝大家龍發財！

在一個有限循環的平面間有數隻螞蟻任意自由活動，這個平面劃分 N x N 個方格，初始有 m 隻螞蟻任意散落在不同的格子內，每隻螞蟻每隔一秒鐘可以上下左右隨意移動一個格子，當移過邊界會循環到另一邊，例如 10 x 10 格子，某隻螞蟻在 (0, 0) 座標往左移一格就是 (9, 0)，然後往下一格就到 (9, 9)。

因為每隻螞蟻會任意方向行動，所以某一秒鐘可能有兩隻或更多隻螞蟻停留在某一格座標中，稱為碰撞，一格有兩隻在一起為碰撞一次，三隻為碰撞三次，四隻在一起為碰撞六次，以此類推。

請設計一個程式，輸入平面 N 大小，螞蟻數量 m，給定時間 T 秒後，然後計算螞蟻們總共碰撞了多少次？N 的最大值為 10⁹，m 最大值為 2x10⁵。

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帕德近似

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抽象風格的數值近似 (Bing Image Creator)

數學上許多連續及可微分的函數都可以變換成泰勒級數或是馬克勞林級數來表示，帕德近似 (Padé approximant) 是一個有理多項式近似法，它比截斷的泰勒級數準確，尤其泰勒級數不收斂時，帕德近似往往仍可行，所以多用於在計算機數學中。

$R(x)=\frac{\sum_{j=0}^{m}a_{j}x^j}{1+\sum_{k=0}^{n}b_{k}x^k}=\frac{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+\cdots +a_{m}x^m}{1+b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^2+\cdots +b_{n}x^n}$

And

$f(0) = R(0)$

$f'(0) = R'(0)$

$f''(0) = R''(0)$

$ \;\;\;\;\;\vdots $

$f^{(m+n)}(0) = R^{(m+n)}(0)$

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訓練數學感 365 ─ 求面積

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ABCD 為正方形，∠AEB = 90°，AE = 4

求 ∆ ADE 面積。

難度 ✩✩

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