https://4rdp.blogspot.com/2017/10/151-antipodes-study-part-2.html?m=0
前文,網友赤子西瓜自己提問一個對蹠點問題,他已經充分了解如何解析這問題,就嘗試和同學一起研究運動方程式,現在把部分成果展現,並且也加入我的一些網友意見,大家共同創作,有興趣的朋友歡迎加入。
首先看西瓜的研究原文,說明對蹠點問題的解。
為了解決這一題,我將地球切成上下兩半,如上圖,C、D為兩半球的質心。
現在開始計算k。
由於上下兩個半球是軸對稱形體,所以取一半圓形薄膜計算質心即可。在此令密度為ρ。
假設兩函數:
圖形如下(圖形為R=1時的範例):
將區間[-R,R]縱切分為n個子區間,寬度Δx。假設第i個子區間中心為xi,將對應第i個子區間想像成一個高f(xi)-g(xi)的長方形。
則此長方形的質量mi為
(密度)(高度)(寬度)
mi=ρ[f(xi)-g(xi)]Δx
想像此長方形的質量集中在中心,則mi對x軸的質矩Mx
(質量)(距離)
Mx=ρ[f(xi)-g(xi)]Δx[f(xi)+g(xi)]/2
=(1/2)ρ[f(xi)-g(xi)][f(xi)+g(xi)]Δx
取n→∞,積分求總和,然後除以半圓的質量,即可得到質心的y座標。(而質心的x座標為零,顯而易見。)
(y bar為質心縱座標、A為半圓面積。)
因此k=4R/3π。
再次回到原圖。假設物體m在路徑AB上的動點P。令OP向量為物體的位置向量r(t)、上下兩半球質心指向物體的兩向量d1(t),d2(t),且兩者大小相等、d1(t),d2(t)與r(t)夾角θ、沿著CP、DP作用的萬有引力Fg1,Fg2。
首先,根據萬有引力定律:
接著觀察下圖。
將θ經過簡單的內錯角;Fg1、Fg2適當的平移,就可以得到上圖。
此時,就可以計算Fg1:
觀察上上圖之後,發現最右邊的cosθ與|d(t)|,則可以如此代換:
代換後:
將Fg的絕對值去除,需要考慮方向,此時假設一單位向量r^,方向和r(t)相反。
根據牛頓第二運動定律,Fg=mg,這裡g即為r(t)的二階導函數。接著,將m消除,稍加整理。
在此|r(t)|得以去絕對值。因為r^和|r(t)|方向相反,所以結果會是-r(t)。最後,帶入k=4R/3π。
(我去翻了寄件備份,發現我當時竟然忘了這個負號!)
結果即是此微分方程式。
其實,個人比較喜歡以下形式: