https://4rdp.blogspot.com/2022/10/collatz-conjecture-5.html?m=0
續前文(四),雖然在 2019 年並未成功證明考拉茲猜想,不過近期有新的思路嘗試想再次證明它,這一次把數值十進位轉換成二進位,就比較容易解析與理解。
考拉茲函數為 任意正整數迭代運算後,目前已知結果會出現 fc = 1,今試證明之。
在進行任何證明之前,先分析二進位數值的特性:
特性一,當最右邊的位元為 0 時,數值為偶數,反之為奇數,
例如 4 = 0b100,9 = 0b1001
特性二,將偶數除以二,相當於把二進位數值做往右移動一個位元,
例如 12 / 2 = 6 (12 = 0b1100 --> 6 = 0b110)
特性三,最右邊連續非 0 位元乘 3 加 1,會把這些連續非 0 位元數量減少一個,
並補入一個 1 在左邊及兩個 0 夾在原來位元外側,例如
1 x 3 + 1 = 4 (1 = 0b01 --> 4 = 0b100)
3 x 3 + 1 = 10 (3 = 0b011 --> 10 = 0b1010)
7 x 3 + 1 = 22 (7 = 0b0111 --> 22 = 0b10110)
特性四,最右邊連續 01 位元乘 3 加 1,會被消除成 00 位元,例如
5 x 3 + 1 = 16 (5 = 0b0101 --> 16 = 0b10000)
21 x 3 + 1 = 64 (21 = 0b010101 --> 64 = 0b1000000)
85 x 3 + 1 = 256 (21 = 0b01010101 --> 256 = 0b100000000)
特性五,非右邊連續非 0 位元乘 3,但是不受加 1 進位影響時,
它會在左右兩個 1 之間各插入一個 0,例如
0b.....010..... --> 0b...110.....
0b.....0110..... --> 0b...10010.....
0b.....01110..... --> 0b...101010.....
0b.....011110..... --> 0b...1011010.....
有了以上分析工具,來看幾個例子,
例一
23 = 0b10111
x3+1
--------------------------
10101
11 1
==========================
70 = 0b1000110
/2 = 35 = 0b100011
x3+1
-------------------------
01001
11 1
=========================
106 = 0b1101010
/2 = 53 = 0b110101
x3+1
------------------------
1111
1001 1
========================
160 = 0b10100000
/32 = 5 = 0b101
x3+1
-------------------
1111
1
===================
16 = 0b10000
/16 = 1 = 0b1
例二
237 = 0b11101101
x3+1
---------------------------------------
10101 11
1001 1
=======================================
712 = 0b1011001000
/8 = 89 = 0b1011001
x3+1
------------------------------------
11 11
1001 1
====================================
268 = 0b100001100
/4 = 67 = 0b1000011
x3+1
----------------------------------
1001
11 1
==================================
202 = 0b11001010
/2 = 101 = 0b1100101
x3+1
---------------------------------
1111
1001 1
=================================
304 = 0b100110000
/16 = 19 = 0b10011
x3+1
-----------------------------
1001
11 1
=============================
58 = 0b111010
/2 = 29 = 0b11101
x3+1
----------------------------
11
10101 1
============================
88 = 0b1011000
/8 = 11 = 0b1011
x3+1
-------------------------
1001
11 1
=========================
34 = 0b100010
/2 = 17 = 0b10001
x3+1
------------------------
11
11 1
========================
52 = 0b110100
/4 = 13 = 0b1101
x3+1
----------------------
11
1001 1
======================
40 = 0b101000
/8 = 5 = 0b101
x3+1
-------------------
1111
1
===================
16 = 0b10000
/16 = 1 = 0b1
由上述例子可以了解,特性二可以消滅偶數右邊的 0,特性三可以每次消滅右邊一個 1,特性四可以快速消滅右邊 01 連續組合,雖然特性五每次會對單獨 1 增生一個 1,但是可能遇到進位而又被消除,總體而言,被消滅的位元比增生的 1 多很多,所以會產生歸一的現象。