訓練數學感 104 ─ 等於六

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0   0   0 = 6
1   1   1 = 6
2 + 2 + 2 = 6
3   3   3 = 6
4   4   4 = 6
5   5   5 = 6
6   6   6 = 6
7   7   7 = 6
8   8   8 = 6
9   9   9 = 6
運用加減乘除各類你所知道的數學符號將上面數式變成等式，已經寫了一個 2+2+2=6 的範例，其餘想想看怎樣湊答案。

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納許棋 (HEX)

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圖片來自維基百科 (作者 Jean-Luc W)

在維基百科稱它為六貫棋，兩人對戰無和棋局面，誰先連成一線到對邊就勝，遊戲致勝有策略，約十分鐘可下一盤，不會太耗時。

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訓練數學感 103 ─ 數字填空

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(    ) + (    ) = (    )
(    ) + (    ) + (    ) = (    ) + (    )
(    ) + (    ) + (    ) + (    ) = (    ) + (    ) + (    )

請填入 1 到 15 數字，不能重複。

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OEIS A274119 數列的故事 (2003倍數)

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這篇寫給非數學專業的朋友參考，2016 端午好運接「粽」而來，這段時間我與網友們聯合申請幾個數列成功，在此除了以較淺顯易懂的方式介紹 OEIS A274119 數列的故事，分享我們的喜樂之外，希望藉由這個故事，讓有志於數學研究的朋友參考，看能不能有更多有趣的數學新發現。

一切的故事從一題 2003 倍數開始，它是我小朋友學校所出的資優數學考題，題目是：
請問 (1 x 3 x 5 x ..... x 2001) + (2 x 4 x 6 x ..... x 2002) 是否為 2003 的倍數？

平時小朋友會分享學校有趣的題目，考驗看我會不會解，天啊，這題數目之大，一般計算機是算不出來的，還好我會用 Python 寫程式，可以驗算答案可以整除，但是個人並非數學系畢業，同時把這題目放在部落格上看有沒有精簡有效解法，那時沒有想到 modular arithmetic 可以輕易證明答案是整除的，這方法是網友 z423x5c6 所提供。

甚麼是 modular arithmetic？簡單說除法餘數可以加減乘除，看看幾個例子就懂，
5 / 11 = 0 ... 5
2 / 11 = 0 ... 2
(5 + 2) / 11 = 0 ... 7
(5 x 2) / 11 = 0 ... 10
(5 + 11) / 11 = 1 ... 5
(5 - 11) / 11 = 0 ... -6

A / B = C ... D 在數學上除法餘數會用右式表示，A ≡ D mod B
只要證明 (1 x 3 x 5 x ..... x 2001) + (2 x 4 x 6 x ..... x 2002) ≡ 0 mod 2003，就可解出來，
(1 x 3 x 5 x ..... x 2001) + (2 x 4 x 6 x ..... x 2002)
≡ [1 x 3 x 5 x ..... x 2001 + (2-2003) x (4-2003) x (6-2003) x ..... x (2002-2003)] mod 2003

≡ [1 x 3 x 5 x ..... x 2001 + (-2001) x (-1999) x (-1997) x ..... x (-1)] mod 2003

≡ [1 x 3 x 5 x ..... x 2001 - 2001 x 1999 x 1997 x ..... x 1] mod 2003

≡ 0 mod 2003     整除

在求解題目時，與網友赤子西瓜同時發現如下規則，

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Bridan Formula (2) ─ 最新數論特性總整理

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續前文，自從找到數列 A273889 後，端午假期有空就再尋找數式之間的關連，以大寫 B(n,k) 表示多重階乘的相加後的商數，

從這公式找到了數列 A274119，網友 z423x5c6 發現 IBM 的研究員 Chai Wah Wu 受到 A273889 證明的啟發又找出數列 A273983，表示這系列數列的新發現受到專家肯定，而我也從這裡找到類似 B(n,k) 的性質，另外定義小寫 b(n,k) 表示多重階乘的相減後的商數，

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訓練數學感 102 ─ 要不要換門？

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圖片來自維基百科

前一個男女人口比例題目答案與直覺相違，網友行天下同時提供另一個有趣的違反直覺題目，大家想看看。

美國NBC電視台有個 Let's make a deal 遊戲節目由蒙提‧霍爾（Monty Hall）所主持，參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇門後面有獎品，選中後面有獎品的那扇門就可以贏得該獎品，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊或者是後面沒有任何東西。當參賽者選定了一扇門，還未去開啟前，知道門後情形的主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。然後主持人會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。如果是你會換門嗎？

難度 ✩✩✩✩

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Bridan Formula ─ 最新發現數論特性

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這真是令人難忘的端午假期開始，好運接「粽」而來，申請 A273889 數列後，還發現一系列相關算式，這些特性可以無限延伸，從 A273889 數列在此之前未被申請一事，推測這個數論特性應該還未被發現，因此採取網誌公開，搶先以 CC BY-NC-SA 3.0 TW 方式著作發表。

另外在此感謝網友 z423x5c6 以 modular arithmetic 方法證明 (4n-3)!! + (4n-2)!! ≡ 0 mod (4n-1) 數式成立，以相同方式亦可以證明其餘算式成立。下面所有算式的 n = 1, 2, 3, ...

1^(2n-1) + 2^(2n-1) ≡ 0 mod 3

1 + 2 = 3 = 3x1

1x1x1 + 2x2x2 = 9 = 3x3

1x1x1x1x1 + 2x2x2x2x2 = 33 = 3x11

(2n-1)! + 2n! ≡ 0 mod (2n+1)            …..   [(n-1)! + n!] / (n+1) = (n-1)!

1 + 2 = 3 = 3x1

1x2x3 + 2x3x4 = 30 = 5x6

1x2x3x4x5 + 2x3x4x5x6 = 840 = 7x120

(4n-3)!! + (4n-2)!! ≡ 0 mod (4n-1)       ….  已經申請 OEIS A273889

1 + 2 = 3 = 3x1

1x3x5 + 2x4x6 = 63 = 7x9

1x3x5x7x9 + 2x4x6x8x10 = 4785 = 11x435

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訓練數學感 101 ─ 男女人口比例

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假設有個男女人口比例 1:1 平衡的國家，每個家庭都可以正常生育下一代，並且男女嬰出生的機率也是公平一半一半，如果每個家庭都採取生出男嬰後就節育不再生下一胎，請問未來男女人口比例會如何？

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慶賀 OEIS A273889 數列申請成功

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a(n) = [(4n-3)!!+(4n-2)!!]/(4n-1)    n = 1,2,3,...
1, 9, 435, 52017, 11592315, 4152126825, 2182133628675, 1581940549814625, 1512952069890336075, ...

你覺得數學研究都是專家的工作嗎？不，也許你聽了我們的故事會大為改觀，其實數學蠻貼近日常生活，只是大家沒特別留意而已。

由於個人是一位三十多年的程式人也是一位數學愛好者，深知良好的數學及邏輯能力有助於程式開發設計工作，因此研發養成所網誌自 2014 年起開始有意識地蒐羅各類數學考題，不定期的貼文與網友共享，由於留言互動的關係進而認識許多同好。

個人對數列的研究起源於

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訓練數學感 100 ─ 更正水果盒

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有三个盒子，一个只装苹果，一个只装橘子，第三个则装有苹果和橘子。盒子被贴上了错误的标签，导致所有标签都没有正确反映盒子里装的是什么。现在只打开一个盒子并且不能向里看，然后用手拿出一个水果。看一眼这个水果，你如何立刻把所有标签对上正确的盒子？

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