圖片來自 混亂時鐘多個美妙的局面
ejsoon 混亂時鐘的遊戲起始，就是把所有鐘面數字弄亂，不對號入座，請問這個遊戲有多少種起始狀態？
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巧了，我在2022年4月在數研論壇也問過相同的問題。當然以我的水平可能還無法解出。
回覆刪除https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=18372&extra=&mobile=no
高手說這個叫錯位排序，用容斥原理可得到[n!/e]，n=12，則結果為176214841。
我的問題是，四捨六入可以理解，但五到底是捨還是入，目前還不是很明白。
關於錯位排序，它的解法在 訓練數學感 50 ─ 不對號入座 有討論過。
回覆刪除另外，https://oeis.org/A000166 也有記載，從 OEIS 序號 166 來看這是一個非常重要的數列。
五剛好是中間值，因此四捨五入是指小數值過半時進位處理。
至於 [n!/e] 很難想像會跟自然指數 e 扯上關係。
四捨五入我搞明白了，1/2=0.5，然而一般的小數都會比0.5大，所以就要進一。
回覆刪除四捨五入不是小學就會教嗎？
回覆刪除我不是不懂四捨五入，而是質疑。我的大學老師也提出過另一種說法，我至今不知道他說的是那個行業的標準，還是他的個人看法。
回覆刪除我現在的看法是，如果精準的等於0.5，那是不能入的，只有0.5000065004556這樣的，大於0.5的，才可以入。
而除以e的話，都不可能會出現精準的0.5，所以就可以放心的四捨五入。
「
回覆刪除至於 [n!/e] 很難想像會跟自然指數 e 扯上關係。
」
這個我已經弄明白了，跟e^x的泰勒展開有關。它前面的式子，正好等於x=-1時的麥克勞林公式。
到時我會在我的部落格，也寫一篇文章。
如你所說，最終只需要拿所有排列情況除以自然對數e，就能得到結果，確實是件很神奇的事。
刪除如果不是推算，一開始根本想不到。
可能我們對「自然對數e」的了解還很有限。
0.5 我是會進位的
刪除$e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots \cdots$
$e = 1-(-1)+\frac{1}{2}-\frac{-1}{6}+\frac{1}{24}-\frac{-1}{120}+\frac{1}{720}+\cdots \approx 2.718$
四捨五入的本質原理是，大於1/2的入，小於1/2的捨，如果等於1/2，那就無法確定是捨還是入，只好保留。這是我的個人理解。
刪除當然也可以額外增加規定，0.5是入還是捨。不過基本上用到四捨五入的場合，都不會出現精準等於0.5的情況。
核對不同程式語言 round() 差異，C語言 0.5 會進位，但 Python 不會
刪除程式語言中的round()，國小教的四捨五入，公司財務的統計報表，或許會出現準確的0.5，或許0.5會進一。
回覆刪除但是我個人認為，當我們在數學命題中使用[x]這個取整符號時，我們要首先保證x的小數部份不會出現精準的0.5。
世上的事，當你強求不要出現 0.5，結果總是會讓你失望。銀行也是用四捨五入處理利息和匯率。
刪除銀行怎麼算我不太清楚，我只在乎n!/e是否會出現精準的0.5。
刪除下面我用反證法來證明。假設n!/e=k+0.5，n和k是正整數，則2(n!)/(2k+1)=e，但是由於自然對數e是無理數，所以該命題不成立。
因此n!/e可以放進[ ]內。
會出現精確 0.5，只有分母為 2
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