民調 3% 統計誤差的由來

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選舉投票，一人一票，票票等值，誰票多就贏，在投票之前想要估計得票數是多少，就只能利用民調來估計，某選區有投票權的人共有 $N$ 人，A 候選人可得 $n$ 張票，他的得票率為 $p=\frac{n}{N}$。

依據中央極限定理，民調次數越多次，其民調統計分佈將趨於標準常態分佈，比例型態的隨機變數，期望值為 $p$，標準差為 $\sigma = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

我們常說民調要做 1068 份，但是我們不知道比例數值 $p$ 因此取最大標準差數值來估計，當 $p=0.5$ 可以得到最大標準差，

所以最大標準差為  $\sigma = \sqrt{\frac{0.5\times (1-0.5)}{1068}}=0.0153$

而信心水準 95%，查標準常態分配函數表可得 $Z = 1.96$

因為 $Z\sigma = 1.96 \times 0.0153 = 0.03$，所以大家就習慣在 95% 信心水準下 $\pm 3$% 統計誤差。

這次 2024 總統大選，國眾兩黨對民調計分方式產生嚴重歧見，

民眾黨以「差距的差距」來評判何種總統候選人搭配最優，以 TTP 內參為例，

(柯侯 VS 賴蕭) = 44 - 32 = 12

(侯柯 VS 賴蕭) = 39.7 - 33 = 6.7

兩種搭配方式的差距 = 12 - 6.7 = 5.3

統計誤差 = $1.96\times\sqrt{\frac{0.5\times (1-0.5)}{1082}}=0.0298$

因為 5.3% > 2.98%，所以判定 柯侯勝

國民黨是直接將兩種搭配相比，

(柯侯 VS 侯柯) = 44 - 39.7 = 4.3

因為 4.3% < 5.96% = 2.98% $\times 2$，統計誤差乘 2 是為了檢定顯著性

所以判定 侯柯勝

就計算意義，「差距的差距」方法在計算不同搭配對賴蕭的強弱差異，而「搭配相比」方法在判斷非柯正不投與非侯正不投的選民差距比例，2024 年大選約 1950 萬人有投票權，那侯柯配估計有 1950 x 4.3% = 83.85 萬人跑票。

另外兩個獨立隨機變數 $p_A$ 和 $p_B$「相比整合」成一個時，其聯合標準差要修正成 $\sqrt{{\sigma_A}^2+{\sigma_B}^2}$，估算大約為 $\sqrt{2}\,\sigma$。民眾黨的「差距的差距」聯合標準差，還需透過上式再計算一次，估計略小於 $2\sigma$，這些聯合標準差僅表示合併後的新隨機變數分布狀況，不管那一種算法皆以最後的差值為新的期望值，聯合標準差為最終的標準差形成另一個新的常態分佈。

本貼文算是提供 訓練數學感 360 解答。