2019年1月22日 星期二

訓練數學感 201 ─ 正三角形面積等於多少？

https://4rdp.blogspot.com/2019/01/201.html?m=0

有個六邊形，直線 AD、BE、CF 共同相交於 O 點，其中 BOC、DOE、AOF 都是正三角形，已知另三個三角形面積分別為 8、10、20 單位面積，試求三個正三角形面積。



這題也是 Andy 發想的問題，放寒假第一天就送上這份作業給我。

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6 則留言:

  1. .2019年1月29日 上午11:01

    令$\overline{OE}=a,\overline{OA}=b,\overline{OC}=c$
    列式
    \［\left\{\begin{matrix}\triangle EOF=\frac{1}{2}ab\sin60^{\circ}=10\\ \triangle AOB=\frac{1}{2}bc\sin60^{\circ}=8\\ \triangle DOC=\frac{1}{2}ca\sin60^{\circ}=20\\ \end{matrix}\right.\］
    化簡
    \ [\left\{\begin{matrix}ab=\frac{40}{\sqrt{3}}\\bc=\frac{32}{\sqrt{3}}\\ca=\frac{80}{\sqrt{3}}\\\end{matrix}\right.\]
    三式相乘，取正平方根：
    \ [abc=\frac{320}{\sqrt[4]{27}}\]
    除以上面各式，得到
    \ [\left\{\begin{matrix}a=\frac{8}{\sqrt[4]{3}}\\b=\frac{10}{\sqrt[4]{3}}\\c=\frac{4}{\sqrt[4]{3}}\\\end{matrix}\right.\]
    有了邊長之後，計算面積：
    \ [\left\{\begin{matrix}\triangle EOD=16\\\triangle FOA=25\\\triangle COB=4\\\end{matrix}\right.\]

    好像可以不用算出邊長。

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  2. flyingdusts2019年1月29日 下午6:19

    觀察所得
    AF//BE
    BC//AD
    DE//CF
    △OEF和 △OCD等高
    △OAB和 △OCD等高
    △OAB和 △OEF等高
    可分別求出底邊之比

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    1. flyingdusts2019年1月29日 下午6:26

      10：8同邊20：10
      化簡得5：4：2
      正三角形邊長之比已知，
      面積之比則為平方倍25:16:4
      但這只是比例

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  3. Bridan2019年1月29日 晚上11:40

    西瓜的答案正解，我的解法跟西瓜一樣，不過我是很不認真的想很多天。
    孫老師的方法確實可以快速找到正三角形的面積比。
    另外，Andy 出這題目是他發現三角形面積之間有幾何平均的關係，
    sqrt(25*16) = 20
    sqrt(4*16) = 8
    sqrt(25*4) = 10

    加分題，如果 ∠AOB, ∠COD, ∠EOF 都不是 60°，請問有解嗎?

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    1. flyingdusts2019年1月30日 清晨7:54

      這樣的話答案不唯一啊，只能計算最大最小值。

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    2. Bridan2019年1月30日 上午8:06

      面積最小值，是角度為 0° 與 180°，最大面積角度是 90°，關係為 sin。

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