腳踏車的力學模式 三 (The Force Model of Bike During Turning, Part 3)

https://4rdp.blogspot.com/2017/03/force-model-of-bike-during-turning-part3.html?m=0

近日在 FB 物理同好會社團，討論一篇腳踏車力學模式二問題，從討論串中給了我一個靈感，對此問題，重新描述數學模型，望請專家們給予指正。

圖左上方圓圈為人車的質心，因地心引力有一向下的力 mg，m 為人車的質量，g 為重力加速度，另外，腳踏車因轉彎等速圓周運動產生 f  離心力，這兩個力量以輪胎觸地點為支點，車身高度 h 為力臂，形成一個平衡力矩，讓車子不會倒下或直立，維持 θ 角度的傾斜。
Σ L = h(mg sin θ) - h(f cos θ) = 0

離心力 f 與車速 V 及迴轉半徑 R 有關，公式如下：
f = mV² / R

雖然找到轉矩平衡方程式，但是也要有輪胎觸地平衡方程式，維持 XY 座標不變，才能讓整個腳踏車力學模式完全平衡。F 為 mg 與 f 的合力，沿著車身向輪胎觸地點施力，X 軸產生 F sin θ 力量向右，Y 軸產生 F cos θ 力量向下。因此

Σ Fy = N - F cos θ = 0， N 為正向力，是 F cos θ 的反作用力
Σ Fx = μN - F sin θ = 0， μN 為摩擦力，也是 F sin θ 的反作用力

重新整理算式
從 Σ L 可得 R = V² / (g tan θ)
從 Σ Fy 可得 N = F cosθ
從 Σ Fx 可得 μN = μF cos θ = F sin θ
μ = tan θ

實際代入數值，分別得
θ = 90 - 53 = 37 度
μ = tan θ = 0.75
m = 80 公斤
V = 4 米 / 秒
g = 9.8 米 / 秒²

因 R = V² / (g tan θ) = 2.2 米，人車重心之曲線半徑。
重心與輪胎著地點之距離為 h sin θ = 0.72 米
因此，輪胎著地點起算的迴轉半徑為 2.2 + 0.72 = 2.92 米

F = mg cos θ + f sin θ
= mg cos θ + (mV² / R) sin θ
= mg (cos θ + tan θ x sin θ)
= 80 x 9.8 x (0.8 + 0.75 x 0.6) = 980 牛頓

車胎與地面摩擦力為 μN = F sin θ = 980 x 0.6 = 588 牛頓

以下為課本的內容，以相比較：

一人騎腳踏車以 4米 / 秒之速度繞過一彎路，此人讓車與地面傾斜53度角，人與車全重為80 kg，合併重心與輪胎著地點之距離為 1.2米，問轉彎半徑為若干？車胎與地面間的摩擦力多大？

假設人車總重為 mg，地面與車胎間之摩擦係數為 μ，地面施於輪胎之正向力為 N，重心與輪胎著地點之距離為 h，由此可得下列平衡條件：

Σ Fx = mV² / R = μN，人車向心力與地面摩擦力相等。
Σ Fy = N - mg = 0
Σ L = N(h sinθ) - μN(h cosθ) = 0，以重心為轉軸。

由 Σ Fy 式得 N = mg
由 Σ L 式得 μ = tan θ
將這兩式代入 Σ Fx 得 tan θ = V² / gR，依課文數據計算

θ = 90 - 53 = 37 度
V = 4 米 / 秒
g = 9.8 米 / 秒²

得 R = V² / (g tan θ) = 2.2 米，人車重心之曲線半徑。
重心與輪胎著地點之距離為 h sin θ = 0.72 米
因此，輪胎著地點起算的迴轉半徑為 2.2 + 0.72 = 2.92 米

車胎與地面摩擦力為 μN = mg tan θ = 80 x 9.8 x 0.75 = 588 牛頓


到此可以看到結果與課本相同，但是兩者解釋的方式不同，課文內容以輪胎觸地點開始說明，沒有詳加解釋力的形成次序，跳過太多步驟，覺得不易理解。原先我一直懷疑，傾斜的車身它的正向力 N 大小應該不到 mg，但是因為有平衡的離心力存在，才能使得正向力 N = mg，若是單車靜置傾斜時，它的正向力大小確實不到 mg。

到此終於解開對這個問題解析的疑問了。

延伸閱讀：(下列兩文皆是錯誤的推導，但希望學子從中記取教訓)
腳踏車的力學模式
腳踏車的力學模式 二