很有趣的題目!假設所有家庭都會不斷生小孩,直至生出男嬰為止,違反直覺的是:每個家庭的男孩和女孩數量的期望值都是1個!亦即未來男女人口比例依然接近1:1。證明:男孩數量期望值=1/2 x 1 + 1/4 x 1 + 1/8 x 1 + ... = 1 (幾何級數)女孩數量期望值=1/2 x 0 + 1/4 x 1 + 1/8 x 2 + ... = ?這裡我使用生成函數的方法計算這數列的和:Let f(x)=x^2 + 2x^3 + 3x^4 + ...f(1/2)就是要找的答案。f(x)=x^2 + 2x^3 + 3x^4 + ...=x^2(1 + 2x + 3x^2 + ...)=x^2 (d/dx (x + x^2 + x^3 + ...))=x^2 (d/dx (x/(1-x)))=x^2/(1-x)^2代入x=1/2,答案正正是1!
高手的證明,確實男女比例還是 1:1。生成函數對初中生來講太深了,用機率來證明會比較易懂。
1 + 2x + 3x^2 + ...=1/(1-x)^2 是很有名的收斂級數,之前一直苦惱證明,原來可以利用積分來解決。還有,此題目也反映了早期重男輕女的社會現象。
嗯,不是積分,是將f'(x)轉乘d/dx f(x)的形式
=x^2(1 + 2x + 3x^2 + ...)=x^2 (d/dx (x + x^2 + x^3 + ...))有隱藏積分在裡面,經過微分又還原成原式,沒想到你也會微積分,這差不多到了高中三年級的程度!
很有趣的題目!
回覆刪除假設所有家庭都會不斷生小孩,直至生出男嬰為止,違反直覺的是:每個家庭的男孩和女孩數量的期望值都是1個!亦即未來男女人口比例依然接近1:1。
證明:
男孩數量期望值=1/2 x 1 + 1/4 x 1 + 1/8 x 1 + ... = 1 (幾何級數)
女孩數量期望值=1/2 x 0 + 1/4 x 1 + 1/8 x 2 + ... = ?
這裡我使用生成函數的方法計算這數列的和:
Let f(x)=x^2 + 2x^3 + 3x^4 + ...
f(1/2)就是要找的答案。
f(x)
=x^2 + 2x^3 + 3x^4 + ...
=x^2(1 + 2x + 3x^2 + ...)
=x^2 (d/dx (x + x^2 + x^3 + ...))
=x^2 (d/dx (x/(1-x)))
=x^2/(1-x)^2
代入x=1/2,答案正正是1!
高手的證明,確實男女比例還是 1:1。生成函數對初中生來講太深了,用機率來證明會比較易懂。
刪除1 + 2x + 3x^2 + ...=1/(1-x)^2 是很有名的收斂級數,之前一直苦惱證明,原來可以利用積分來解決。
刪除還有,此題目也反映了早期重男輕女的社會現象。
嗯,不是積分,是將f'(x)轉乘d/dx f(x)的形式
刪除=x^2(1 + 2x + 3x^2 + ...)
刪除=x^2 (d/dx (x + x^2 + x^3 + ...))
有隱藏積分在裡面,經過微分又還原成原式,沒想到你也會微積分,這差不多到了高中三年級的程度!