2021年6月30日 星期三

訓練數學感 296 ─ 正方形面積

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正方形 ABCD 內有 E 點,已知 AE、BE、DE 線段長度,請求此正方形面積。

難度 ✩✩✩

這題是網友行天下提供的,是對岸初中競賽題,號稱地獄級難度,我給 Andy 解,他五分鐘內想出高中解法步驟,據說這題還有國中的解法,有興趣的朋友試試看。

9 則留言:

  1. 有解法嗎?是用到heron formula 嗎?

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    1. Andy 不是用海龍公式來解,我剛開始的思考也是用海龍公式,但是這方法缺 CE 長度條件。

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  2. 從E點對AB及AD做垂線,假設對AB垂線長x,可解得 x+sqrt(13+x^2)=sqrt(4-x^2)+sqrt(25-x^2),x 大約等於 1.7201836814,故正方形邊長約為 5.7150593864,面積大約為 32.6619037905

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    1. 正解,只是這方法求解等式不容易。

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    2. 還有其它計算更簡單的解法,有興趣的朋友可以再想想。

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    1. 面積解正確,能簡單描述你的解法嗎?

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  4. 由E做垂線垂直AD於E', 令EE'=X, 由E做垂線垂直AB於E'', 令EE''=Y, 令正方形邊長為a
    可得
    x^2 + ( a-Y)^2 =17
    Y^2 + ( a-x)^2 =25
    x^2 + Y^2 =4
    將第3式帶入展開後的1,2 兩式
    再由1,2 兩式去求a^2

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    1. 嗯,不錯,Andy 是用第二餘弦定律解,然後要解 $2a^{4}-84a^{2}+610=0$

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