訓練數學感 203 ─ 射龍門

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據說射龍門的撲克牌玩法流行於香港，通常用於賭博。

莊家負責發牌，玩家會先拿到兩張牌，然後以第三張牌跟前兩張牌的點數比較來決定輸贏，如果第三張牌點數在前兩張之間，玩家贏，否則算輸。像在踢足球，把球踢進球柱之間才算贏，所以稱為「射龍門」。

點數排列，A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K，分別代表 1 ~ 13，所有玩家先下注，例如每注最低金額為 10 元，大家在桌面中間押注當初始彩金，然後莊家發給所有玩家兩張牌，假設有十位玩家大家都押注十元，此時彩金總額為 100 元，第一位玩家拿到 4 和 10 兩張牌，他可以根據當時桌上彩金多寡喊注，假設他喊 60 元，莊家對他發出第三張牌，如果第三張牌是 5, 6, 7, 8, 9 中任一張，玩家贏，他可以拿走 60 元，如果號碼是 A, 2, 3, J, Q, K 在門柱之外，玩家輸，他要補入 60 元當彩金，若第三張號碼為 4, 10，表示撞柱也是輸，要賠入喊注加倍金額 120 元當彩金，後面的玩家根據當時桌面的金額繼續喊注，直到彩金清空。

如果兩張門柱牌是一樣時，要猜大小，比如兩張 5，玩家說猜大，只要第三張比 5 大就是贏，比 5 小就是輸，撞柱一樣雙倍罰金。

假設門柱為 4 和 10，只有兩位玩家，每人都押注 10 元，然後喊注 20 元，請問第一位玩家的期望值是多少？
這遊戲是過年看外甥們玩，給我靈感可以利用這機制在 4rdp 益智拼圖上玩不同的玩法。