西洋棋 (Chess) 與合約橋牌 (Contract Bridge)

https://4rdp.blogspot.com/2022/03/chess-contract-bridge.html

沒想過西洋棋會成為我生活中的一部分，應該是 Andy 影響了我，讓我開始想下棋，不過我只是想消遣而已，不像他另有遠大目標。

我未曾教過他下西洋棋，本文僅做一個簡單紀錄他怎樣開始學棋，以及怎樣精進它，回想 2020 年底，約 110 年學測前兩個月，我發現他經常看 YouTube Rey 介紹西洋棋的影片，然後開始玩起線上西洋棋，雖然學測將至，我當它是 Andy 排解課業壓力的消遣，沒有過多的干預，他在校的成績是中等的，我們家長也沒對他有特別要求，只要保持學習的興致就好，因此從小已經很習慣他在家不讀書，做他自己想做的事。

考完學測後，當然投入更多時間在西洋棋上，此時告訴我，大學想申請資工系，這令我非常訝異，因為以前想教他寫程式，而他根本不想碰，現在反而自投羅網，問明原因，原來他從西洋棋找到動機，想學人工智慧程式設計。另外他數學也考得很好，因此幸運地申請到交大資工。

此外，他還從西洋棋學習英文，經常在 YouTube 觀看外國棋士解說棋局，順便訓練自己的英文聽力，目前他多益 785 分，我認為從自己喜愛的活動來學東西是一件幸福的事。

2021 年還沒開學前，將近有三個月的時間，我告訴他應該先自學程式，不過他不聽勸仍將所有時間放在下棋上，時間放在哪裡成就就在哪裡，因此這段時間 Elo (Elo rating system，等級分) 累積到 1100 分，而程式則一行也沒寫過，開學後，交大資工就自然幫我把他電得唉唉叫，因此將近有三個月沒甚麼時間下棋，不過還很厲害一年級上學期所有學科 All Pass 成績也不錯，只有程式設計的課被操得很兇。

寒假他也不寫程式而繼續下棋，Elo 衝到 1500 分 (大約業餘二段)，並且決定要創立西洋棋社，我是樂觀其成，這訓練他在學校微型創業，無論成功失敗，經驗難得，而且幾乎沒有甚麼損失，我想交大應該很歡迎他創社，未來可以跟清華大學西洋棋社一較高下。

問過他未來規劃，他想成為國手以及棋力達到特級大師的水準，既然有自己的目標就給予鼓勵與祝福。

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訓練數學感 310 ─ 行列式不等式

https://4rdp.blogspot.com/2021/12/310.html

 $\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^3\geq \left ( x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz \right )^2$

請試證明上式。

難度 ✩✩✩

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訓練數學感 305 ─ 拋物線

https://4rdp.blogspot.com/2021/09/305.html

 

上圖為一開口向上的拋物線，F 為焦點，知道 AF, BF, CF 的長度分別為 $a, b, c，且 b > a$，AFB 三點共線，C 點在拋物線軸上。

問三個問題：

1. $a, b, c$ 三數的關係為何？
(A) $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{ab}{c}$ 
(B) $a^{2}+c^{2}=b^{2}$ 
(C) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$
(D) $ab=4c^{2}$
(E) $a+b=4c$

2. 當 a+b = 2 且 ab = 8 時，c = ?

3. 下列何者正確？(複選)
(A) $a+b \leq 4c$
(B) $a+b \geq 4c$

(C) $b>c>a$
(D) $b>a>c$
(E) $a, b, c$ 可組成一個三角形

難度 ✩✩✩

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訓練數學感 304 ─ 圖案是甚麼？

https://4rdp.blogspot.com/2021/09/304.html

 XY 座標平面上有兩固定點 A(1,0) B(-1,0)，還有一個動點 P(x,y)，定義 PA x PB = 1

請概略畫出 P 的圖形？

難度 ✩✩✩

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數學力養成

https://4rdp.blogspot.com/2021/08/blog-post.html

數學是許多人的罩門，一直難以跨越這個門檻，因此以自身學習及小朋友指導的歷程，提供經驗給數學學習困難的朋友參考。

解算數學問題可以分兩個層次，一是思考的層次，理解題意及解析問題，想出解法，然後運用已知的數學知識 (公式) 列出算式，第二部分是計算的能力，多數人只要有相關的算式，那麼使用小學階段的四則運算能力，剩下的應該就能把答案計算出來，因此第一部份的思考是整個數學解題的關鍵所在，語文的閱讀能力是這部分的基本，另外在學校老師也會教大家數學公式，那麼那些不會數學的同學通常卡在問題解析及想出解法的關卡，因此這才是數學力養成需要突破的關鍵點，這不是單純背數學公式可以解決。

個人認為數學力增強，不是多算題目就可以變好，多算同類型題目通常只是加強計算力，想增強思考力需要其它方法幫忙，以下內容說明思考力如何訓練。

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訓練數學感 299 ─ 線段乘積與向量內積

https://4rdp.blogspot.com/2021/07/299.html

兩個同心半圓，內有任意 AC，DF 兩線段交於小半圓，各 B，E 兩點。

請證明 AB x BC = DE x EF

難度 ✩✩

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訓練數學感 293 ─ 解餘數

https://4rdp.blogspot.com/2021/05/293.html

已知 8ⁿ -1 可被 49 整除，n∈N，試求 n 最小值

難度 ✩✩✩

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大學學測的準備策略

https://4rdp.blogspot.com/2021/05/blog-post_21.html

圖片來源:《109年全台38校資工系大學入學競爭力大解密》

續前文，Andy 在高中入學時，約略校排在三十幾名，在班上是掛車尾，但是本次學測以英數自三科總和卻是全校最高！跌破許多人的眼鏡，包含我在內，主要是三年來他只在學校看書，回家幾乎放空，偶而寫寫作業，假日亦同，甚至學測前兩個月開始瘋狂迷上西洋棋，甚至大考前一天照玩不誤，因此我覺得他瘋了，雖然會看不慣而提點，但他還是我行我素，自己的人生自己選擇，所以就沒有過多干涉，若是在家肯多用功一些，無論在校或學測成績還會更好。

現在回頭看他的大學學測準備策略，有部分值得學習，他不想花太多無謂時間精力在文科上面，台清交資工系主要看英數自三科，國文過得去就好，數學基礎不錯就依學校進度學習，並且習慣想一些有的沒有的題目考我，使他數學思考得以敏捷有創意，可惜計算力與不夠細心，讓他成績不能更上一層樓。英文原先是他的弱項，能力需要時間累積，所以高一二及早依序加強 7000 字彙、片語、句型、閱讀，高三再回頭強攻自然，所以用最少的精力讀書但獲取最佳的成績，這個策略是他自己想出來的，並且也算成功。

現在大學個人申請已經公告榜單與成績，他台科大電資正取，交通資工乙、清華資工丙、中央資工、北科大電資備取，最後志願選擇就讀交大資工。接下來說明備審的評分，Andy 先製作一份備審資料，然後微調內容再遞交給各申請學校，收到各校 (清華、中央、台科大、北科大) 成績差不多，約在 82 ~ 83 分之間，只有交通給他 86 分，我的評估備審分數不高的原因之一在他不會寫程式，可能這樣就少了 3 ~ 5 分，交大這學校不在乎學生是不是程式小白，教授給他高分的原因應該是他喜歡下棋並且想寫 AI 下棋程式的關係，以前不愛交作業，現在上天就安排他讀「交作業大學」補償補償。另外，成大資工蘇文鈺教授有提到一些備審評分說明值得參考。補充資料 ─ 聯合報調查，基本上多數教授忙碌，有上百份備審要處理，平均每篇五到十分鐘，因此主要看甚麼學校、在校成績如何以及學測成績，然後看其它關鍵字打下分數。

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訓練數學感 290 ─ 110 年陽明交通大學資訊工程系個人申請二階筆試考題

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今年陽明交通大學資訊工程學系個人申請二階筆試考題共 17 題單選題，機率題組 4 小題，幾何 2 小題，其餘為線性代數，包含四階反矩陣。

左圖為幾何題圖案，四分之一圓內有兩個等腰三角形，請問 α 是 β 的多少倍？另外大三角形面積是小三角形多少倍？

難度 ✩✩✩

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學測結束是大學申請準備階段的開始

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 Andy 參加今年 110 學測準備申請大學，做父親的我就從旁協助，只能提點一些意見給他參考，準備備審資料等事宜還是他要親自動手做。

他分析本次學測數學，填充題難度一般，單選題測綜合應用力，複選題測細心度，Andy 的強項在數學思考，但是粗心與計算力不足，讓他只能達到 14 級分，而英文與自然兩科分數也約在 14 級分，因應這樣的成績，估計台清交的理工科系機會不多，中字輩公立大學則有機會。

再談他的興趣，自小喜歡數學思考，不喜歡動手做東西，所以沒有傳承我做棋與機器人組裝等專業技藝，但是從近期迷上西洋棋這件事，可以確定他喜歡策略思考，以及未來他想設計有關 AI 程式，所以電資學群是他大學選系的首選。

自己是電機專業背景，知道這方面職業出路廣，就問過他是否考量電機與電子學系，他一口否決，以台大電機為例，那是各科皆為滿級分人的天下，競爭者眾，他不會考慮，另外不喜歡動手做東西，也是他不碰電子電機學系的主因，所以他決定只鎖定各校資訊工程學系，這就是他的大學申請策略。

清楚知道自己的目標後，就可以進行二階準備，以前曾教過 Andy 寫程式，但是當時他興趣缺缺，我就暫時停止指導，等未來興趣爆發後再說，所以此時他將不是靠大學程式設計先修檢測 APCS (Advanced Placement Computer Science) 這條路來準備二階，而是以數學力來應戰，綜觀各校，台大、交大再以數學測驗實力，清華則以閱讀資訊科技文章來測驗考生的理解能力，其他學校似乎過書面審查及口試即可，所以他將繼續準備指考數學，以及看我手邊有關演算法、密碼學和其他雜七雜八的書，以充實資工相關知識，將有助於未來二階面試有題材與內容跟評審對談。

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訓練數學感 280 ─ 因式分解 108x³ - 21x² + 13x -1

https://4rdp.blogspot.com/2021/01/280-108x-21x-13x-1.html

 因式分解多項式 

f(x) = 108x³ - 21x² + 13x -1

難度 ✩✩✩

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訓練數學感 279 ─ 遊戲過程有幾種情況？

https://4rdp.blogspot.com/2021/01/279.html

 有 100 張卡片，上面各標示 1 ~ 100 數字，充分洗牌後，AB 兩人輪流抽牌，取出不放回，AB 各抽一張時稱為一輪，最多玩 50 輪，當 A 的號碼大於 B 時，繼續下一輪，反之則結束遊戲，請問這遊戲過程有幾種抽牌情況？(卡片的排列組合)

難度 ✩✩✩

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下棋的策略

https://4rdp.blogspot.com/2020/12/blog-post.html

最近 Andy 迷上西洋棋，但他不是受Netflix 后翼棄兵這部影片的影響，而是先看到其它西洋棋介紹影片才注意這部影片，雖然即將學測，但我不打算過度干預，事情以及時機的孰輕孰重，他自己應該能拿捏。下棋是我蠻推薦的活動，對奕可以表現出人類智力極致的一面，從下棋的過程，可以讓一個人學習更深層思考，而專家可以展現出有策略的一面，這也意謂可以快速有效率獲得成功 (或想要得到的結果)。

今天會記錄這一主題，是因為 Andy 在我開車時，詢問對策略的想法，他說自己喜歡速戰速決，我認為

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訓練數學感 276 ─ Square area

https://4rdp.blogspot.com/2020/12/276-square-area.html

 

一正方形 ABCD，A 點 在 X 軸上，C 點在 Y 軸上，已知 OE = 1，CE = 5，請求正方形 ABCD 面積。

難度 ✩✩✩

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訓練數學感 275 ─ 三角形邊長

https://4rdp.blogspot.com/2020/12/275.html

 

如上圖，AC = 12, CD = 8, DE = 6, AF = 4, DF = 6，請求 BE = ?

難度 ✩✩✩

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訓練數學感 274 ─ 最小 cos 值

https://4rdp.blogspot.com/2020/11/274-cos.html

有一直線 $x-\sqrt{3}y+3=0$，另外有一點 P 在這線上滑動，這一點和 OA 兩點形成一角 θ = ∠OPA，O點座標為 (0, 0)，A點座標為 (1, 0)，請求出 $cosθ$ 最小值。

難度 ✩✩✩✩

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訓練數學感 271 ─ 三角函數題組

https://4rdp.blogspot.com/2020/11/271.html

$2(sin 3x)(cos 4x)= sin 5x, \; x = \;?$

$sin 10° + sin 50° = sin X°, \; X = ?$

$cos 20°\times cos 40°\times cos 80°= \;?$

$sin^{2} 10°+ sin^{2} 30°+ sin^{2} 50°+ sin^{2} 70°= \;?$

$sin^{2} 20°+ sin^{2} 40°+ sin^{2} 60°+ sin^{2} 80°= \;?$

難度 ✩✩✩✩

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訓練數學感 270 ─ 直線排列題組

https://4rdp.blogspot.com/2020/10/270.html

 有 20 人排成一列，4 人拿相同旗子，請問

一、若拿旗人不相鄰，有多少種排法？

二、若拿旗人之間需間隔奇數不相鄰，有多少種排法？

三、若拿旗人之間需間隔偶數 (不為零) 不相鄰，有多少種排法？

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訓練數學感 269 ─ 直角三角形裡的線長與角度

https://4rdp.blogspot.com/2020/10/269.html

有一直角三角形 CDO 內有 BO、AO 兩線段，請問甚麼條件下會讓線長 c = a + b 並且 ∠COD = ∠AOD + ∠BOD？

難度 ✩✩✩

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整數直角三角形的特性

https://4rdp.blogspot.com/2020/10/blog-post_13.html

 

前文提到 Andy 發現整數直角三角形具有下列特性

$c^{2}=a^{2}+b^{2},\;a^{2}>2b\;\;or\;\; b^{2}>2a,\; \; a,b,c \in N$

其由來為

可以利用平方差來求直角三角形的整數解，例如

$a^{2}=12321=1\times 12321=(6161-6160)\times (6161+6160)=6161^{2}-6160^{2}=c^{2}-b^{2}$

可以觀察到 $a^{2}>2b$ 以及

$c = (m+n)/2,\;b = (m-n)/2,\; \; m,n \in N,\;and\;m \times n = a^{2} 為一定值$