2020年12月12日 星期六

訓練數學感 275 ─ 三角形邊長

https://4rdp.blogspot.com/2020/12/275.html

 

如上圖,AC = 12, CD = 8, DE = 6, AF = 4, DF = 6,請求 BE = ?

難度 

這一題是 Andy 推薦的,原題目是求 EF = ? 不過求解 BE 將大幅提升難度,他稱為神奇的一題。我概算一下,確實 BE 不好算,如果想再加深難度還可以求解 AB。

5 則留言:

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    1. 正解,請問你的解題邏輯為何?

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  2. 1. 三角形ACD, 利用餘弦定理求得角度ADC 之餘弦值, 可換算求得角度ADE 之餘弦值
    2. 三角形DEF, 利用餘弦定理求得EF 長度,
    3. 由D做垂線垂直EF於D', 由B做垂線垂直AF於B',三角形DFD' 相似於三角形BFB', 所以設BF=x, 則B'F=3x/4, BB'=sqrt(7)x/4
    角BFF' 之正弦值=sqrt(7)/4, 角DEF 之正弦值=sqrt(7)/4,
    4. 三角形ACD 與 三角形DEF 之面積和 = 三角形BCE 與 三角形ABF 之面積和
    三角形ACD 與 三角形DEF 之面積可由Heron公式求得
    三角形ACD之面積= 14(9+x)(sqrt(7)/4)(1/2), 三角形ABF 之面積=4(sqrt(7)/4)(1/2)
    可求得x=BF=8/3
    5. 三角形ABB', 已知AB'= B'F= 2, 可知AB=BF=8/3

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    1. 真是精采的求解過程,Andy 是用三角形 ACD 求角 A,然後發現它和角 BFA 相同,利用三角形 ACD 和三角形 ECB相似來解題。

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    2. 對了,我們有用 CF 輔助線。

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