中國古代採干支紀年,就是用十個天干 (甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸),與十二地支 (子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥),依序組合成 ─ 甲子、乙丑、‧‧‧,因此每六十年成一個週期。古代人類壽命並不長,皇帝在位超過 60 年僅有清朝的康熙 (61 年) 與乾隆 (60 年),所以中國古代使用干支紀年沒甚麼大問題。
中華民國因國父 孫中山先生在武昌起義,辛亥革命成功推翻滿清政府而建立,這正好在 1911 年,以此為基準推算 60 年週期,所以我們可以知道 1971 年或是 1851 年就是辛亥年。不過辛亥年並不是 60 年週期的起頭,如果能計算出甲子年在 19XX 年,那麼其它的干支紀年就容易推算。
南宋的秦九韶(1208年-1261年)『數書九章』中的大衍求一術,就是處理這類數學問題,以現代代數式表示辛亥年,
X ≡ 8 (10) ‧‧‧ X 除 10 餘 8
X ≡ 12 (12) ‧‧‧ X 除 12 餘 12 (整除)
由第一式可知 X = {8,18,28,38,48,58},如果要滿足第二式則 X = 48,表示辛亥年排序第 48 年。
X ≡ 48 (60) ‧‧‧ 辛亥年在干支紀年中排序第 48
因此甲子年在 1851 - (48 - 1) = 1804 年
那中日甲午戰爭在那一年?歷史的背誦題就變成數學題。
2014年6月29日 星期日
大衍求一術 ─ 中國餘數定理
2014年6月25日 星期三
2014年6月22日 星期日
神奇的地球科學常數關係式
https://4rdp.blogspot.com/2014/06/blog-post_22.html
天體運行是非常穩定而規律,因此人類可以透過長期觀測天象取得許多天文常數,哥白尼曾導出一個軌道週期數學式,可以計算地球與行星會合週期及它的恆星週期的關係:
E 是地球的恆星年
P 是其它行星的恆星年
S 為該天體與地球的會合週期
回歸年(Tropical Year) 365.242199 日 (365 天 5 小時 48 分 46 秒),由地球上觀察,太陽在黃道(天球上太陽行進的軌道)一周所經歷的時間。
朔望月(Synodic Month) 29.53059 日 (29 天 12 小時 44 分 2.8 秒),從地球觀測月亮朔望變化一周的時間。
我再補充幾個關於地球重要的天文數據,
2014年6月18日 星期三
越逼越近 ─ 連分數
https://4rdp.blogspot.com/2014/06/blog-post_18.html
0.2422 x 4 = 0.9688 ..... 四年加一閏日
0.2422 x 100 = 24.22 ..... 每一百年只能閏 24 次,因此第一百年就不閏日
0.2422 x 400 = 96.88 ..... 第四百年再補閏一天,其實這樣相當一個回歸年有 365.2425 日,表示未來第八個第四百年就不會閏日了。
0.2422 x 1000 = 242.2 ..... 每一千年只能閏 242 次,因此第一千年就不閏日
0.2422 x 4000 = 968.8 ..... 每四千年再補閏一天
0.2422 x 10000 = 2422 ..... 第一萬年不用閏日
最後三行,書上沒有說明由我補述。
至於農曆閏月規則就有點複雜,目前採每十九年閏七個月,這是怎樣求得的?首先
2014年6月14日 星期六
從月曆學數學
2014年6月10日 星期二
對數 (logarithm)
https://4rdp.blogspot.com/2014/06/logarithm.html
以前曾經寫文說明開根號的數學計算,今天就說明工程計算機另一重要計算功能 ─ 對數。
對數的發明,是因為數學家想簡化算數乘除計算的繁瑣,對數的方法於1614年被約翰·納皮爾 (John Napier) 在 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Description of the Wonderful Rule of Logarithms) 書中首次公開,而對數符號 log 來自拉丁文 logarithm,是由義大利數學家卡瓦列里 (Cavalieri,1598 - 1647) 所提出。
對數的觀念簡單的說,把數值乘除轉換成數值加減,在計算機發明前需要查表換算,加減計算後再反查表求出最後答案,因此有人發明計算尺,解決查表換算問題。
對數的觀念簡單的說,把數值乘除轉換成數值加減,在計算機發明前需要查表換算,加減計算後再反查表求出最後答案,因此有人發明計算尺,解決查表換算問題。
log(X*Y) = log(X) + log(Y) log(X/Y) = log(X) - log(Y) log(Xa) = a * log(X)
另外,為了區別以 10 為基底及超越數 e (Euler's number) 為基底的對數,數學習慣分別表示為 log(X)和 ln(X),而計算機語言喜歡用 log10(X)及 log(X)表示。在日常應用方面,由於人類對外界感覺的魯鈍,也運用了許多對數的觀念,例如,聲音用分貝、地震用芮氏規模、天文觀測用星等,意思是訊號要變化很大,人們才會有所感覺。
回歸主題,本文的要點為計算機如何計算對數值?在資料型態認識─浮點數 (single & double) 一文提到,任何正實數可以表示為 $R=2^{n}\cdot u$,$n$ 是整數,$1 \leq u < 2$,那$\color{Red}{\ln{R}=}\ln{(2^{n}\cdot u)}=\color{Red}{n\ln{(2)}+\ln{(u)}}$
接下來就要思考如何計算 $\ln{(u)}$,這需要
2014年6月5日 星期四
立方體六分之一的提示(1/6 Cube)
https://4rdp.blogspot.com/2014/06/16-cube.html
之前一篇楓之谷數學神偷2─水井中的蝸牛,提到立方體倒水的問題,解答的關鍵在如何獲取1公升的水,這需要一點數學基礎才算得出來,先用微積分求解,把ABCD三角錐切片,以∆BCD為底,將三角形面積一片一片加到A頂點,即是ABCD三角錐體積:
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