2017年2月26日 星期日

訓練數學感 130 ─ 杯子有多少水？

https://4rdp.blogspot.com/2017/02/130.html

一直徑為 d 的杯，放置傾斜 θ 度，內裝高度為 h 的水，請問杯子有多少水？


這是我 228 連假在家洗碗時想到的問題，其實日常生活有著許許多多題材，可以讓你思考。

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17 則留言:

  1. .2017年2月27日 清晨7:04

    在嚴謹的解題出現之前，在此提供一句愛迪生的思維：

    為什麼不把它倒出來量呢?

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    1. Bridan2017年2月27日 晚上8:35

      是啊，解決問題的方法不只一種，用秤的也可以。

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  2. flyingdusts2017年2月27日 上午11:53

    分兩种情況：
    1、d·sinθ <= h
    2、d·sinθ > h

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    1. flyingdusts2017年2月27日 下午6:21

      設有一高度h0，h0 = d·sinθ
      則內有水pi·(d/2)^2·h0/2 = h0·pi·d^2/8

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    2. Bridan2017年2月27日 晚上8:37

      老師已經點出解題關鍵。

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  3. flyingdusts2017年2月27日 下午6:41

    我提一個這道題的簡單版：
    一直徑為 d，高為 h 的杯，放置傾斜 θ 度，
    問此杯最多能裝多少水？

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    1. Bridan2017年2月27日 晚上8:46

      套用老師的式子，答案呼之欲出。

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    2. flyingdusts2017年2月28日 下午5:56

      突然想到，應該假設杯底厚度應忽略不計。

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    3. Bridan2017年2月28日 晚上10:06

      同意，假設杯子厚度為零，降低問題複雜度。

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  4. .2017年2月28日 晚上7:00

    d·sinθ > h又應該如何下手?

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    1. Bridan2017年2月28日 晚上10:17

      因為杯子是圓柱狀，我會用圓形切塊以及積分的方法，計算杯底的水量

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  5. Bridan2017年3月1日 晚上10:32

    因網站問題，赤子西瓜一直無法正常留言，因此改寄電郵請我代貼，原文如下

    統整一下：
    dsinθ＜h時：
    V=(2hsecθ-dsinθ)(d/2)^2π/2
    dsinθ=h時：
    V=hsecθ(d/2)^2π/2
    dsinθ＞h時(由多重積分求出)：
    V=-2tanθ(d-hcscθ)[-(d-hcscθ)sqrt((d/2)^2-(d-hcscθ)^2)+(d/2)^2arctan(-k/sqrt((d/2)^2-(d-hcscθ)^2))]+tanθ(d-hcscθ)(d^2/8)π

    如果上述答案無誤，那麼此題正式破解。

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    1. Bridan2017年3月1日 晚上10:34

      貼文會少一段，是因為算式中有大於小於符號，正好是 HTML 碼，dsinθ＜h 及 dsinθ=h 已經看過沒問題，積分解還沒檢查，應列上積分前的式子後再看。

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    2. .2017年3月2日 晚上11:51

      dsinθ＞h時
      將整個杯子移到直角坐標系(我的習慣是z軸向上)，其中杯底圓為xy平面上一圓心在原點，半徑為d/2的圓。
      假設液面是理想平面，可以得知液面和杯底(xy平面)夾θ度；另令液面和xy平面交於直線x=-k(z=0)，由上述兩點可以得知液面方程式為x-0=tanθ[z-(-k)](類似斜截式，只不過在y方向可以無線延伸)，整理後得到z=(x-tanθk)/tanθ。k則可以直接在平面上用幾何方法解出=hcscθ-d/2。

      所求體積可以再液面方程式下指定一個區域，並利用積分求出。指定區域是一個大於半圓的弓形，為求方便，沿著y軸切成兩部分，左邊(稱之R1)用一般積分，右邊(R2)即可用極座標積分處理：將x=rcosφ代入即可。(在此用φ只是為了和原題的θ分別)

      R1的範圍，是由兩個鉛錘直線(在xy平面上是如此)和兩個圓弧組成。圓弧的方程式是+sqrt((d/2)^2-x^2)和-sqrt((d/2)^2-x^2)，鉛錘直線的方程式則是x=-k和x=0。

      R2的範圍，是一個半圓，顯然地，r=d/2，φ介於π/2和-π/2之間。(在此用φ只是為了和原題的θ分別)

      於是，所求體積V：

      2cotθ{(d/2)^2-sqrt[((d/2)^2-k^2)^3]}(ktanθ-1)/3+d^2(2dcotθ-3d^2πk)/24
      其中k=hcscθ-d/2

      本來辛苦打了積分式，不過突然當機，眼看沒有餘力，只好麻煩您用上面的方法列式檢查。
      還有，我把一些上面的錯誤改了。

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    3. Bridan2017年3月3日 晚上10:55

      循著你的思維列式，液面方程式應該為 z-0 = [x-(-k)]*tanθ 或是 z = (x+k)*tanθ，修正後再重新核對。

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  6. Unknown2017年9月2日 晚上8:28

    以杯底為x軸，杯高為y軸
    設杯子有高度刻度，水面的最高刻度 y = hsecθ
    設 R = D/2 以方便閱讀

    分成兩種情況：
    一、 y <= Dtanθ
    二、 y > Dtanθ

    情況二，水的體積可視為一個圓柱體與一個斜截體的和：
    a、圓柱體積 = (水面最低刻度)*πR^2
    b、斜截體積，即情況一中 y = Dtanθ時的體積

    情況一，計算概念為底面積A延著y方向積分，V = ∫Ady

    底面積基本上就是弓形，設缺口的半張角φ (0<=φ<=π)
    A = πR^2*(1-φ/π)+Rcosφ*Rsinφ = R^2(π-φ+cosφsinφ)

    接著來推導dy，弓形的對分中線 = R(1+cosφ)
    所以 y = R(1+cosφ)tanθ，微分得 dy = -Rtanθsinφdφ

    V = ∫Ady = ∫[R^2(π-φ+cosφsinφ)]*(-Rtanθsinφdφ)
    = R^3tanθ∫sinφ(φ-cosφsinφ-π)dφ
    = R^3tanθ{[-(sinφ)^3/3+sinφ+(π-φ)cosφ]+C}

    最後從所有已知計算φ值就能得知體積V了

    從工程的角度出發，把量杯擺正就知道體積啦，然後才想出以上算式

    第一次看完問題後發言，請多指教，認真的喜歡這樣的Blog

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    1. Bridan2017年9月2日 晚上11:16

      很高興在網路認識新朋友，歡迎你常來此掏寶。

      回歸主題，你的方法以 φ 去除西瓜的 Z 軸，這我喜歡，若能利用杯子高度刻度 y 更好，畢竟角度 φ 不易量測，總結，這題以 V = f(y) 或是 V = g(h) 表示，其他讀者比較容易懂。謝謝你的另類推導。

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