2019年1月14日 星期一

訓練數學感 200 ─ 兩群總和相等的機率

https://4rdp.blogspot.com/2019/01/200.html

整數 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7，將它們分成兩群，每群至少一個，把各群數值相加，請問兩群數值總和相等的機率為多少？

這題是 Andy 的數學作業題，也是他推薦的難題。

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6 則留言:

  1. Kent Yeh2019年1月15日 上午10:23

    分成 A B 兩組，兩組至少各一
    所以 A 有 7 個選擇，A 選完後 B 剩 6 個選擇，
    當 A B 至少有 1 後，剩下5個可以選A或選B,所以共有 2^5 選擇
    故共有 7×6×2^5 = 1,344 種組合，

    因 SUM(1~7)/2=14 而 SUM(1~5)=10，所以決定權在 6 或 7
    要麼 6 7 不同組，要麼6 7 同組，
    若 6 7 同組，那麼可搭配的只剩 1 (其它數字歸到另一組)，
    所以列舉如下
    {7,6,1},{7,5,2},{7,4,3}
    故機率是 3/1,344

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    1. Bridan2019年1月15日 晚上11:52

      這題的分子與分母都不對，先談分子還有遺漏組合，關於分母，把 1 ~ 7 依序分類，看是分 A 還是 B，再扣除都是 A 或 B。
      提示到這裡，再想想。

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  2. flyingdusts2019年1月24日 上午8:05

    7+6+1=5+4+3+2
    7+5+2=6+4+3+1
    7+4+3=6+5+2+1
    6+5+3=7+4+2+1
    一共就這四種情況可以相等

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    1. Bridan2019年1月24日 晚上8:51

      是的，相等的情形列出來了。

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    2. flyingdusts2019年1月25日 上午9:50

      分組的種類有
      1，6
      2，5
      3，4
      總計C(7,1)+C(7,2)+C(7,3)=63

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    3. Bridan2019年1月26日 晚上11:51

      正解，所以符合機率為 4/63，我的解法為，
      把一到七寫在七張不同的卡牌上，然後把它們分左邊或右邊，
      左右分法共有，2^7 = 128，然後扣掉全在右邊及全在左邊，128 - 2 = 126
      左右兩群相等狀況，有八種，
      7+6+1=5+4+3+2，5+4+3+2=7+6+1
      7+5+2=6+4+3+1，6+4+3+1=7+5+2
      7+4+3=6+5+2+1，6+5+2+1=7+4+3
      6+5+3=7+4+2+1，7+4+2+1=6+5+3
      因此機率為 8/126 = 4/63

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