2019年1月6日 星期日

訓練數學感 199 ─ 最多可以放幾個等腰三角形

https://4rdp.blogspot.com/2019/01/199.html

一個半圓形,在裡面任意畫頂角為 20° 等腰三角形,三角形頂角必須在半圓的弧上,三角形底邊必須與半圓底邊上,請問半圓內最多可以放幾個頂角 20° 等腰三角形?所有三角形不相重疊。

難度

這題是 Andy 任意發想的題目,目的就是要考倒我 ^_^!! 他認為題目要簡潔,但是又難以立即解出的,比較有深度,他認為這種題目,就難以使用三角函數求解。

延伸閱讀
Clever method to solve a tricky geometry problem!  這題被 Mind Your Decisions 及眾多奧林匹亞數學競賽收錄,詳見 YouTube 留言區

18 則留言:

  1. http://imgur.com/gallery/YA48gij

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  2. 加分題,所有的等腰三角形邊長總合等於多少?

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  3. 這題有毒(笑)
    三角函數的做法目前只用嘗試了正切和餘割。
    還沒發現什麼規律。

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    1. 從西瓜的解法,最大的規律就是依據給定的角度等分圓弧,然後在直徑上的角度也是一樣的。

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  4. http://imgur.com/gallery/gGYBRnI

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    1. 正解,求邊長就需要三角函數,這題是高中數學的程度。

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    2. 謝謝老師提醒,我先補個圖記錄,https://www.geogebra.org/classic/mhvf49gp
      三角形總邊長 = 2R (csc 10° + 1)
      至於西瓜的,請他麻煩補上

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    3. 這兩天我陷入了研究各相似三角形底邊比例的坑中,不能自拔。
      不知道有沒有公式可以計算出各底邊的比例呢?
      我目前計算到
      角度為45度時,
      三個相似三角形之比為
      cos(45):1:cos(45)
      角度為30度時,
      五個比為
      1/4/(sin(30)):cos(30):1::cos(30):1/4/(sin(30))
      角度為22.5時,
      七個比為
      sin(22.5):2*sin(22.5)*cos(22.5):cos(22.5):1:cos(22.5):2*sin(22.5)*cos(22.5):sin(22.5)
      再往下也看不到什麽規律了……

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    4. 哈,我以為imgur的圖片 hidden之後還看得到。
      現在打開了。

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    5. imgur好像走向社群網站,所以我的圖片被好多人看到,甚至還有人留言問我這是什麼。

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    6. 孫老師,你的答案不對喔,其比例應該是:
      45°, sin(45°):sin(90°):sin(45°)
      30°, sin(30°):sin(60°):sin(90°):sin(60°):sin(30°)
      22.5°, sin(22.5°):sin(45°):sin(67.5°):sin(90°):sin(67.5°):sin(45°):sin(22.5°)

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    7. 西瓜,http://imgur.com/gallery/YA48gij 這張圖也看不見。

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    8. 對對,我繞遠了。你這個答案簡潔多了

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    9. OK,沒想過底邊比率與 sin 相關

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