2016年9月14日 星期三

訓練數學感 113 ─ 最小次方

https://4rdp.blogspot.com/2016/09/113.html



m、n 皆為自然數,求最小的 n,可以產生一個平方數。

這題是小朋友考我的,他花十分鐘解出,而我約花八分鐘解出,解題時建議不要用計算機以及筆算,這樣比較容易想出解法。

9 則留言:

  1. 把加法變成兩個數相乘,類似因式分解的化簡,然後再進行開方。很快就可以解出來了。
    答案先不透漏。

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    1. 是啊,想想看怎樣提出共同項,讓等式左邊可以兩項相加,是能夠開根號成為整數。

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  2. 3^7 = 3*3^(3*2)
    3+1 = 4 = 2^2
    故n = 6 一定行;以下是小於六的情況,
    3^3+1 = 28 (不行)
    3^5+1 = 244 (不行)

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    1. n = 6 正解。
      加分題,除了 6 以外還有其它答案嗎?

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  3. (沒有其他答案了。
    將題目3^7提出
    3^7(1+3^(n-7))=m^2
    1+3^(n-7)=u^2/3^v v為奇數,u為非負整數
    1+1/3^(7-n)=u^2/3^v
    (3^(7-n)+1)/3^(7-n)=u^2/3^v 由此可以知道n是偶數
    不妨令v=7-n
    [3^(7-n)+1]/3^(7-n)=u^2/3^(7-n)
    3^(7-n)=u^2-1
    n和u的非負整數解就是此題答案
    n=6,u=2是一組

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    1. 通解
      n=7-log3(u^2-1)
      n,u為非負整數(其實u為負好像也可以)

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    2. 西瓜中秋快樂,謝謝你以 n=7-log3(u^2-1) 證明沒有比七還大的解。

      進階題,找數列
      a^n+a^7 = m^2,a=0,1,2,3,...
      求最小的整數 n,可以產生整數平方項。

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    3. 偶然回來翻舊文,看到了這一篇,結果看不懂自己上面在算什麼^_^
      我重新算了一遍,發現「n不大於7」意外地,用簡單的反證法就可以解決!
      "
      假設n>7,
      ⇒3^7[3^(n-7)+1]=m^2
      ∵3^7,3^(n-7)+1,m^2∈ℕ∴3^7,3^(n-7)|m^2
      ∵m^2為完全平方數∴m^2的標準分解式中質因數次數必為偶數
      ⇒3|3^(n-7)+1使得質因數3的次數至少8次
      而如果以3除3^(n-7)+1一定會餘1(→←)
      由假設的逆敘述可知n<=7。
      "
      在進階題a的時候同理可證!

      關於進階題的部分,其實存在一組平凡解:
      (a,m,n)=(0,0,1) (0^0在此視為無意義)
      所以n最小整數值1。
      不過平凡解何其無聊!

      於是,我開始討論a的解。

      n=7的情況
      a^7+a^7=m^2
      ⇒2a^7=m^2
      因為右邊是完全平方數,所以左邊的質因數次數應該會是偶數。左邊已經有一個質因數2,因此不難理解,a=2。
      所以n=7時,a有唯一值2,再計算m,得解
      (a,m,n)=(2,16,6)


      n=6的情況
      a^6+a^7=m^2
      ⇒a^6(a+1)=m^2
      ⇒[a^3]^2(a+1)=m^2
      a+1=(m/a^3)^2,故a+1為完全平方數。
      令u^2=a+1,u∈ℤ/{0} (差集,左上到右上的斜線打不出來)
      ⇒a=u^2-1
      再計算m,得解
      (a,m,n)=[u^2-1,u(u^2-1),6]

      至於n=5以下,就留給高手來解吧!

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    4. 哈哈,很正常,像我寫程式,尤其是組合語言的低階程式,經過三個月後,沒加註適當的說明也會看不懂自己在寫什麼。

      從你的證明,讓我直覺想到,a^n+a^b = m^2,a=0,1,2,3,...,b=0,1,2,3,...
      求最小的整數 n,可以產生整數平方項。b 可能限制了 n 的解答,也就是 b > n
      這當做進階題二,給有興趣的人證明。

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