m、n 皆為自然數，求最小的 n，可以產生一個平方數。
這題是小朋友考我的，他花十分鐘解出，而我約花八分鐘解出，解題時建議不要用計算機以及筆算，這樣比較容易想出解法。
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把加法變成兩個數相乘，類似因式分解的化簡，然後再進行開方。很快就可以解出來了。
回覆刪除答案先不透漏。
是啊，想想看怎樣提出共同項，讓等式左邊可以兩項相加，是能夠開根號成為整數。
刪除3^7 = 3*3^(3*2)
回覆刪除3+1 = 4 = 2^2
故n = 6 一定行；以下是小於六的情況，
3^3+1 = 28 (不行)
3^5+1 = 244 (不行)
n = 6 正解。
刪除加分題，除了 6 以外還有其它答案嗎?
(沒有其他答案了。
回覆刪除將題目3^7提出
3^7(1+3^(n-7))=m^2
1+3^(n-7)=u^2/3^v v為奇數，u為非負整數
1+1/3^(7-n)=u^2/3^v
(3^(7-n)+1)/3^(7-n)=u^2/3^v 由此可以知道n是偶數
不妨令v=7-n
[3^(7-n)+1]/3^(7-n)=u^2/3^(7-n)
3^(7-n)=u^2-1
n和u的非負整數解就是此題答案
n=6,u=2是一組
通解
刪除n=7-log3(u^2-1)
n,u為非負整數(其實u為負好像也可以)
西瓜中秋快樂，謝謝你以 n=7-log3(u^2-1) 證明沒有比七還大的解。
刪除進階題，找數列
a^n+a^7 = m^2，a=0,1,2,3,...
求最小的整數 n，可以產生整數平方項。
偶然回來翻舊文，看到了這一篇，結果看不懂自己上面在算什麼^_^
刪除我重新算了一遍，發現「n不大於7」意外地，用簡單的反證法就可以解決!
"
假設n>7，
⇒3^7[3^(n-7)+1]=m^2
∵3^7,3^(n-7)+1,m^2∈ℕ∴3^7,3^(n-7)|m^2
∵m^2為完全平方數∴m^2的標準分解式中質因數次數必為偶數
⇒3|3^(n-7)+1使得質因數3的次數至少8次
而如果以3除3^(n-7)+1一定會餘1(→←)
由假設的逆敘述可知n<=7。
"
在進階題a的時候同理可證!
關於進階題的部分，其實存在一組平凡解:
(a,m,n)=(0,0,1) (0^0在此視為無意義)
所以n最小整數值1。
不過平凡解何其無聊!
於是，我開始討論a的解。
n=7的情況
a^7+a^7=m^2
⇒2a^7=m^2
因為右邊是完全平方數，所以左邊的質因數次數應該會是偶數。左邊已經有一個質因數2，因此不難理解，a=2。
所以n=7時，a有唯一值2，再計算m，得解
(a,m,n)=(2,16,6)
n=6的情況
a^6+a^7=m^2
⇒a^6(a+1)=m^2
⇒[a^3]^2(a+1)=m^2
a+1=(m/a^3)^2，故a+1為完全平方數。
令u^2=a+1,u∈ℤ/{0} (差集，左上到右上的斜線打不出來)
⇒a=u^2-1
再計算m,得解
(a,m,n)=[u^2-1,u(u^2-1),6]
至於n=5以下，就留給高手來解吧!
哈哈，很正常，像我寫程式，尤其是組合語言的低階程式，經過三個月後，沒加註適當的說明也會看不懂自己在寫什麼。
刪除從你的證明，讓我直覺想到，a^n+a^b = m^2，a=0,1,2,3,...，b=0,1,2,3,...
求最小的整數 n，可以產生整數平方項。b 可能限制了 n 的解答，也就是 b > n
這當做進階題二，給有興趣的人證明。