這個猜想是我的小朋友突發奇想出來的，它來自於學習算幾不等式時的聯想，
因為這兩個式子很像，所以讓他想到 n 次方應該也可以，他只想到 n 為正整數時，a, b ≥ 0
我建議 a, b, n 擴展到實數範圍，就成了上面的算式。
這裡就先紀錄，因為還不會證明，就先稱為 Andy 高次算幾不等式猜想，給數學高手證明它。
圓冪定理
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圓冪定理包括相交弦定理，割線定理，切割線定理。 相交弦定理 切割線定理 資料來源：
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%9C%86%E5%B9%82%E5%AE%9A%E7%90%86
1 天前
a > 0; b < 0, sqrt (a,b) 會變成虛數。
回覆刪除當 a = 2; b = -3; n = 1
左式 = 5 ; 右式 = 6
即找到反例。
所以原猜想不成立。
訂正:
回覆刪除2*(sqrt(2*-3))^1 = 2 * 6i = 12i
|12i| = 12, 右式 = 12
2√(2)(-3)¹=2√6i
刪除5>2√6
n>0應該是成立的。n<0好像有點棘手。
我搞混了。 n=1, |2* √-6| 的運算結果。
回覆刪除把絕對值 |x| 定義為 √(x^2)
|2* √-6| = √(2√-6*2√-6) =√24 < 5
n < 0 情況，把 x ^-n = 1/x^n 表示就可以。
至於證明方法. 目前沒概念哩
有位馬來西亞高手證明出來， https://www.facebook.com/groups/204862582895831/permalink/1829366770445396/?comment_id=1829404747108265&comment_tracking=%7B%22tn%22%3A%22R1%22%7D
回覆刪除直接用a^n和b^n代入算幾即可，煩惱的是處理正負和複數、指數問題。
回覆刪除西瓜點出重點，因此採用 ||x|| 將所有數值轉 R+，現在 a,b,n 實數 OK，不過複數呢?
刪除條件可能要補上，a或b不能和n同時為0，寫成(ab)²+n²≠0。
刪除當a,b為不為實數的複數，輻值是實數，就可以套到事先正好的實數模型裡了。
0 的 0 次方未定義。 0 的負數次方無意義。
回覆刪除若 a 或 b = 0, 當 n < = 0 時，原式子不能成立。
行天下的條件沒問題，看來還有一些範圍須要再仔細檢查，西瓜的條件，若 a=1, b=i, n=1，猜想是符合的。
回覆刪除原題目已經說 a, b, n 屬於 R, 若 b = i 已屬於複數集合，已不在原條件範圍內.
刪除哈，我太貪心了，實數範圍以行天下條件限制足已，有興趣大家再來想想複數的條件狀況。
刪除實數部分，可以加入行天下的變成[(ab)²+n²]n>0，使得n為正數。
刪除這個範圍條件不等式怪怪的，當 a=b=1, n=0 是符合猜想，但是 [(ab)²+n²]n = 0，需要修改。
刪除也就是
刪除若ab=0則n>0
若ab≠0則n可為任意實數
數學式值得當成另一個題目想想，不過當成定理表述時，我覺得這樣寫就好了，否則太過tricky。
嗯，實數範圍可以說確定，加分題，a,b,n 為複數範圍，條件為何?
刪除虛數的虛數次方怎麼辦啊X_X
刪除我覺得 Euler's formula 可以利用，如果可以成立那麼 i^i = e^(-pi/2)
刪除