2014年9月3日 星期三

訓練數學感 32 ─ 面積怎麼變大了? (Banach-Tarski paradox)

https://4rdp.blogspot.com/2014/09/32-banach-tarski-paradox.html

這是有名的數學悖論題目,原來 8 x 8 正方面積切成四份後重新組合排列,竟變成 5 x 13 的矩形面積!聰明的讀者應該可以看出問題在哪裡。

下面是這題目的英文原文:
This puzzle is based on the Banach-Tarski paradox.
The story of this puzzle involves buying and selling gold.
The gold is purchased in the shape of a square, eight units (e.g. inches) on a side.
The area of square is 64 square units (inches).
The square is cut into four pieces as shown in illustration on the right.
The four pieces are the re-arranged as shown on the left to form a 65 square-unit rectangle.
The 65 square-unit rectangle of gold is re-sold for the same price per unit area, and the profit is 1 square unit (inch) of gold.
How do you explain this?

同樣地,我在想有沒有類似的整數解切割重組,使得正方形面積變小,或是其它變大的例子?(進階題)
上面的正方形,以何種比例切割,重組後面積不變?(加分題)

7 則留言:

  1. 如果照右圖畫法,兩股8,3 的三角形要與兩股13,5的三角形相似。所以照三角形相似的定理,3:8 要與 5:13相等, 但實際上,3/8=0.375, 5/13=0.3846...如果計算夾角, arctan(0.375) =20.55度. arctan(0.3846)=21.04度. 就那麼一點點角度的差異,使得右邊的圖形,中間存在一點點的空隙。 同樣的,右上的三角形與右上的梯形,其兩個角相加也不等於 90度.

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  2. 哈,基本題馬上被破解,進階與加分題繼續加油。^_^

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  3. 夫子,
    若把圖中的數字改為10,而3改為4,5改為6。
    那原來的正方形面績是10 * 10 = 100
    但那個"長方形"的面績會是 (10 + 6) * 6 = 16 * 6 = 96 ,面績將減少4個單位。

    而這個進階數學題,只需學會國中程度的一元二次方程,及不等式的知識,再配上小許智慧,便有能力解決。

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    1. 嗯,這個變小的例子舉的不錯,如果把誤差縮小到 +/- 1,不知道還有沒其它例?

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    2. 設正方形的高度為x,長方的高度為y,那某本題就是(x,y) = (8,5)
      面績+1的例子有:
      (3,2), (21,13), (55,34)

      面績-1的例子有:
      (2,1), (5,3), (13,8), (34,21), (89,55)

      面績+4的例子有:
      (6,4) , (16,10), (42,26)

      面績-4的例子有:
      (4,2), (10,4), (26,16), (68,42)



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    3. 不知道,你有沒有注意到這解答隱藏一個費氏數列,謝謝你提供這些數值,讓我看到費氏數列,另外應用。有興趣歡迎你在 OEIS 加註發現。

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  4. 有一些討論在 https://4rdp.blogspot.tw/2016/09/114.html?showComment=1475633121595#c7456090159272574395

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