下面是這題目的英文原文：
This puzzle is based on the Banach-Tarski paradox.
The story of this puzzle involves buying and selling gold.
The gold is purchased in the shape of a square, eight units (e.g. inches) on a side.
The area of square is 64 square units (inches).
The square is cut into four pieces as shown in illustration on the right.
The four pieces are the re-arranged as shown on the left to form a 65 square-unit rectangle.
The 65 square-unit rectangle of gold is re-sold for the same price per unit area, and the profit is 1 square unit (inch) of gold.
How do you explain this?
同樣地，我在想有沒有類似的整數解切割重組，使得正方形面積變小，或是其它變大的例子？(進階題)
上面的正方形，以何種比例切割，重組後面積不變？(加分題)
如果照右圖畫法，兩股8,3 的三角形要與兩股13,5的三角形相似。所以照三角形相似的定理，3:8 要與 5:13相等, 但實際上，3/8=0.375, 5/13=0.3846...如果計算夾角， arctan(0.375) =20.55度. arctan(0.3846)=21.04度. 就那麼一點點角度的差異，使得右邊的圖形，中間存在一點點的空隙。 同樣的，右上的三角形與右上的梯形，其兩個角相加也不等於 90度.
回覆刪除哈，基本題馬上被破解，進階與加分題繼續加油。^_^
回覆刪除夫子，
回覆刪除若把圖中的數字改為10，而3改為4，5改為6。
那原來的正方形面績是10 * 10 = 100
但那個"長方形"的面績會是 (10 + 6) * 6 = 16 * 6 = 96 ，面績將減少4個單位。
而這個進階數學題，只需學會國中程度的一元二次方程，及不等式的知識，再配上小許智慧，便有能力解決。
嗯，這個變小的例子舉的不錯，如果把誤差縮小到 +/- 1，不知道還有沒其它例？
刪除設正方形的高度為x，長方的高度為y，那某本題就是(x,y) = (8,5)
刪除面績+1的例子有：
(3,2), (21,13), (55,34)
面績-1的例子有：
(2,1), (5,3), (13,8), (34,21), (89,55)
面績+4的例子有：
(6,4) , (16,10), (42,26)
面績-4的例子有：
(4,2), (10,4), (26,16), (68,42)
不知道，你有沒有注意到這解答隱藏一個費氏數列，謝謝你提供這些數值，讓我看到費氏數列，另外應用。有興趣歡迎你在 OEIS 加註發現。
刪除有一些討論在 https://4rdp.blogspot.tw/2016/09/114.html?showComment=1475633121595#c7456090159272574395
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