2019年2月23日 星期六

訓練數學感 204 ─ 正方形內的追逐

https://4rdp.blogspot.com/2019/02/204.html

有兩隻甲蟲分別在正方形對角 A B 兩端,B 蟲追 A 蟲,A 蟲要躲避 B 蟲的追擊,兩者各自採取最佳策略行動,兩者的運動方向隨時可以改變,但是兩者的行動軌跡都不能超出正方形範圍,並且兩者速度都固定是 V,請問 B 蟲追得到 A 蟲嗎?

這題是 Andy 在春節露營時,喝了茶睡不著時想到的問題。

10 則留言:

  1. 追得到,如果正方形中間有障礙的話就不行。

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    1. 嗯,我也這麼想,因為A被逼到角落時,距離就拉近,障礙物沒想到,
      加分題,當A是B速度多少倍,才不會被追到?

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  2. 我覺得要大於sqrt(2)倍,詳細證明我要再想想。

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    1. 我也直覺認為是 sqrt(2) 倍,以 B 蟲為直角座標原點,A 距離 B 半徑 R,如果 A 想從 (R, 0) 位置逃到 (0, R),就需要大於 B sqrt(2) 速度。
      進階題,如果正方形內有障礙物,請問這障礙物需要多大?

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    2. 多大都可以。
      我覺得這跟擺放的位置關係更大。

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    3. 嗯,有了障礙物,A 要逃過 B 的追捕,它的最佳策略是障礙物在 AB 之間,因此障礙物越接近正方形的中心點越好。

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    4. 障礙物不在中心點也可以,比較靠近A的點都行

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    5. 怎麼說?障礙物越在中央越有較大逃命空間,太靠邊角難逃命,我同意障礙物靠近 A 可活命,不過障礙物在中間有些偏 B,會被追捕到嗎?這可能要好好想一想?
      這問題剛問我小朋友,他說這像秦王繞柱躲荊軻刺殺,讓我想到可以用蜂巢式棋盤來模擬這場遊戲,勝負下回分解。

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    6. A到障礙物最近點的距離,要比B到這點的距離短就行了

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  3. https://drive.google.com/file/d/1mFrCfarqvH_Lmc8wr77cuoJNJs3zLRo3/view?usp=sharing
    下方的仕先走,然後黑象逃,如果障礙物在A格,仕還勉強吃不到,如果在B格,黑象會被追到。

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