2019年3月11日 星期一

訓練數學感 206 ─ 跑操場

https://4rdp.blogspot.com/2019/03/206.html

 有 ABC 三人在環形操場跑步,三人同時同位置同方向起跑,每個人的速度很穩定,30 秒後 AB 首先相遇,60 秒後 BC 相遇,請問誰跑最快?誰第二?什麼時候 AC 會同時相遇?

這題是小朋友從 AMC8 獲得的靈感,簡單但是有陷阱。

6 則留言:

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    1. 抱歉,語意疏漏,補充環形跑道、同位置起跑。這樣應該可以解題。

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  2. 30秒後AB相遇,即是一人比另一人多跑了一圈。
    60秒後BC相遇,同理。
    其中B出現兩次,猜測他不是最快就是最慢。
    (如果他速度居中的話,則另兩位應該率先相遇。)
    設B每圈用時X秒,
    如果B速度最快:
    則A每圈用時為30 /((30-X)/ X)= 30X /(30-X)
    C每圈用時為60/((60-X)/X) = 60X / (60-X)
    CA兩數值相比為60X / (60-X) :30X /(30-X)
    =60-2X : 60-X (0<X<30)
    此數值小於1,故C用時較短,速度較快
    ……
    --------------------------------
    這個方法很繁瑣
    --------------------------------
    AB每30秒相遇一次,BC每60秒相遇一次,
    AC也應是每60秒相遇一次。(LCM)
    首次相遇的雙方一定是最快和最慢,則C是第二。
    --------------------------------
    如果把題目中的時間數字改一改,不剛好是2倍的話,會更難些。

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    1. 嗯,有兩種速度狀況,一是 B>C>A,另一是 A>C>B,其它要再想一下。

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    2. 環型相遇週期,可用下面公式計算,$T_{A}$表示A轉一圈所需時間,$T_{B}$表示B轉一圈所需時間,
      $T_{AB}$表示AB相逢所需時間,這裡假設 A 的速度比 B 快,
      $\frac{1}{T_{A}}-\frac{1}{T_{B}}=\frac{1}{T_{AB}}=\frac{1}{30}$
      $\frac{1}{T_{C}}-\frac{1}{T_{B}}=\frac{1}{T_{CB}}=\frac{1}{60}$
      $\therefore \frac{1}{T_{A}}-\frac{1}{T_{C}}=\frac{1}{T_{AC}}=\frac{1}{30}-\frac{1}{60}=\frac{1}{60}$
      AC每60秒相遇一次,反之 B>C>A 也一樣,所以老師的解答為正解。

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  3. 加分題,在環形操場跑步,ABC 三人同時同位置起跑,只有 A 方向不同於 BC,每個人的速度很穩定,30 秒後 AB 首先相遇,60 秒後 BC 相遇,請問 BC 誰跑最快?什麼時候 AC 會同時相遇?

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