2018年8月14日 星期二

Andy 高次算幾不等式猜想

https://4rdp.blogspot.com/2018/08/andy.html





這個猜想是我的小朋友突發奇想出來的,它來自於學習算幾不等式時的聯想,





因為這兩個式子很像,所以讓他想到 n 次方應該也可以,他只想到 n 為正整數時,a, b ≥ 0
我建議 a, b, n 擴展到實數範圍,就成了上面的算式。



這裡就先紀錄,因為還不會證明,就先稱為 Andy 高次算幾不等式猜想,給數學高手證明它。

18 則留言:

  1. a > 0; b < 0, sqrt (a,b) 會變成虛數。
    當 a = 2; b = -3; n = 1
    左式 = 5 ; 右式 = 6
    即找到反例。

    所以原猜想不成立。

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  2. 訂正:
    2*(sqrt(2*-3))^1 = 2 * 6i = 12i
    |12i| = 12, 右式 = 12

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    1. 2√(2)(-3)¹=2√6i
      5>2√6

      n>0應該是成立的。n<0好像有點棘手。

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  3. 我搞混了。 n=1, |2* √-6| 的運算結果。
    把絕對值 |x| 定義為 √(x^2)
    |2* √-6| = √(2√-6*2√-6) =√24 < 5

    n < 0 情況,把 x ^-n = 1/x^n 表示就可以。

    至於證明方法. 目前沒概念哩

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  4. 有位馬來西亞高手證明出來, https://www.facebook.com/groups/204862582895831/permalink/1829366770445396/?comment_id=1829404747108265&comment_tracking=%7B%22tn%22%3A%22R1%22%7D

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  5. 直接用a^n和b^n代入算幾即可,煩惱的是處理正負和複數、指數問題。

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    1. 西瓜點出重點,因此採用 ||x|| 將所有數值轉 R+,現在 a,b,n 實數 OK,不過複數呢?

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    2. 條件可能要補上,a或b不能和n同時為0,寫成(ab)²+n²≠0。
      當a,b為不為實數的複數,輻值是實數,就可以套到事先正好的實數模型裡了。

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  6. 0 的 0 次方未定義。 0 的負數次方無意義。
    若 a 或 b = 0, 當 n < = 0 時,原式子不能成立。

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  7. 行天下的條件沒問題,看來還有一些範圍須要再仔細檢查,西瓜的條件,若 a=1, b=i, n=1,猜想是符合的。

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    1. 原題目已經說 a, b, n 屬於 R, 若 b = i 已屬於複數集合,已不在原條件範圍內.

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    2. 哈,我太貪心了,實數範圍以行天下條件限制足已,有興趣大家再來想想複數的條件狀況。

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    3. 實數部分,可以加入行天下的變成[(ab)²+n²]n>0,使得n為正數。

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    4. 這個範圍條件不等式怪怪的,當 a=b=1, n=0 是符合猜想,但是 [(ab)²+n²]n = 0,需要修改。

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    5. 也就是
      若ab=0則n>0
      若ab≠0則n可為任意實數
      數學式值得當成另一個題目想想,不過當成定理表述時,我覺得這樣寫就好了,否則太過tricky。

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    6. 嗯,實數範圍可以說確定,加分題,a,b,n 為複數範圍,條件為何?

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    7. 虛數的虛數次方怎麼辦啊X_X

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    8. 我覺得 Euler's formula 可以利用,如果可以成立那麼 i^i = e^(-pi/2)

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