2016年10月19日 星期三

訓練數學感 117 ─ 化約根式

https://4rdp.blogspot.com/2016/10/117_19.html



請將上面兩層根號數式化約為只出現一層根號項。

這個題目是小朋友從老師考題改編而來,我剛回國到家疲累並飢寒交迫之時,他就先送上這個問題讓我充飢,第一時間想不出來,半小時後再給一個提示,看我十分鐘後還算不出來,不願再給第二個提示,直接給出解答。

老實說,這個考題出得很有水準,解法真的不容易想出來。

18 則留言:

  1. 不可以直接解雙重根式嗎?sqrt(7 + 2sqrt(12)) 得到 2 + sqrt(3)

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    1. 不知道那位高手約十分鐘內就解出答案,2+sqrt(3)就是正解,這題就難在想出因式分解計算過程,也許太久沒計算這類題目,感覺魯鈍了。
      能概述一下你計算本題的感覺嗎?

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  2. 請參考以下 利用: (a+b)^2=a^2+b^2+2ab 公式

    https://www.junyiacademy.org/math-grade-10/junyi-numbers-and-expressions-a/root/number-and-number-line/v/yxuKdQqtNWo

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  3. 最近學會了excel的solver,又寫了個求解表單求解。
    詳見電郵

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  4. 雙重根式,原本好像是高一課程,高二三角函數證15度和75度特別角精確值時好像也會用到(學校可能不會教)。

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  5. 我沒解出答案的關鍵在於算式化約成 sqrt(7 + 4sqrt(3)),這樣就看不出有 sqrt(4)+sqrt(3) 平方項了。
    謝謝大家給予資料補充,國中生是不會教雙重根式,高中我就不清楚了,這一題,應該一票國中生會被打趴。

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    1. 這種其實可以硬解,之前有發現。
      sqrt(p+sqrt(q))的形式,可以解聯立方程
      {x+y=p
      4xy=q
      得到x和y。
      不過x,y都要是有理數,根號才只會剩下一層,無理數的話「化簡」就沒什麼意義了。

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    2. 因外層根號内部僅有一個加號,所以化簡之後也至多有一個加號

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    3. 謝謝西瓜提供公式,公式是充分理解後推導出來的通式,其餘同學不要死背,對學數學不會有大助益。
      從 flyingdusts 的留言,讓我想到一個加分題目,試列舉甚麼樣的正整數 a,b,c
      可以得到 sqrt(a) = sqrt(b) + sqrt(c) 等式

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    4. 先列出前幾項參考:
      4,1,1
      8,2,2
      9,1,4
      9,4,1
      12,3,3
      16,1,9
      16,9,1
      16,4,4
      18,2,8
      18,8,2
      25,1,16
      25,16,1
      小結:
      首先、需要sqrt(bc)為正整數。
      其次、分兩種情況討論:
      第一種,存在大於1的正數d,使得b/d和c/d均爲整數,
      第二種,不存在大於1的正數d,使得b/d和c/d均爲整數。

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    5. 加分題的一個關鍵在於bc乘積值必須是平方數,其餘再研究。

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    6. 將題目改成sqrt(a)+sqrt(b)=sqrt(c),a,b,c皆為正整數
      sqrt(a)+sqrt(b)=sqrt(c)
      a+b+2sqrt(ab)=c
      2sqrt(ab)=-a+b+c
      4ab=a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca
      a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca=0

      第一次配方
      a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca=4ca
      (a-b+c)^2=4ca
      a-b+c=2sqrt(ca)...第一式

      第二次配方
      a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca=4bc
      (-a+b+c)^2=4bc
      -a+b+c=2sqrt(bc)...第二式

      第三次配方
      a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca=4ab
      (a+b-c)^2=4ab
      a+b-c=2sqrt(ab)...第三式

      三式相加
      a+b+c=2[sqrt(ab)+sqrt(bc)+sqrt(ca)]

      可知符合條件的正整數a,b,c,任兩數乘積必為平方數

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    7. 這題的目標應該就是找出a,b,c三者的參數表達。

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    8. 三式相加
      a+b+c=2[sqrt(ab)+sqrt(bc)+sqrt(ca)]
      這點好像有誤,嘗試以1,1,4代入,
      左 = 1 + 1 + 4 = 6
      右 = 2[sqrt(1x1)+sqrt(1x4)+sqrt(4x1)]
      = 2(1+2+2) = 10
      左右不等
      ---------------------
      檢視原因,問題可能出在第一段:
      a+b+2sqrt(ab)=c
      2sqrt(ab)=-a+b+c這裏應改爲
      2sqrt(ab)=-a-b+c

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    9. 謝謝西瓜跟老師的補充,我只注意到其中兩項乘積有平方數關係,沒想到三者兩兩都是,這是西瓜所發現的,再來就是數式推導的修正,至於,如何表示這三數,應該以數對集合表示較佳,如 (a,b,c)

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    10. 孫老師提到的應該只是小問題,我看過筆記之後確認之後內容是無誤的。
      我的錯誤點是配方之後,比如說(a,b,c)=(1,1,4)時a+b-c為負,而2sqrt(ab)為正,導致等式兩邊不等。
      看來要先確認三者之間的大小關係,知悉三者加減後其正負性質。

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    11. 自己親自算一下,套用西瓜的算式,sqrt(a)+sqrt(b)=sqrt(c)
      應該是 a+b+c = 2[sqrt(ac)+sqrt(bc)-sqrt(ab)],這個等式並不侷限 a,b,c 是整數,只要是實數即可。

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    12. 每個數式都有它的幾何圖案意義,進階題,有興趣大家想想看 a+b+c = 2[sqrt(ac)+sqrt(bc)-sqrt(ab)]代表甚麼圖案意義?

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