請將上面兩層根號數式化約為只出現一層根號項。
這個題目是小朋友從老師考題改編而來，我剛回國到家疲累並飢寒交迫之時，他就先送上這個問題讓我充飢，第一時間想不出來，半小時後再給一個提示，看我十分鐘後還算不出來，不願再給第二個提示，直接給出解答。
老實說，這個考題出得很有水準，解法真的不容易想出來。
圓冪定理
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圓冪定理包括相交弦定理，割線定理，切割線定理。 相交弦定理 切割線定理 資料來源：
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%9C%86%E5%B9%82%E5%AE%9A%E7%90%86
1 天前
不可以直接解雙重根式嗎？sqrt(7 + 2sqrt(12)) 得到 2 + sqrt(3)
回覆刪除不知道那位高手約十分鐘內就解出答案，2+sqrt(3)就是正解，這題就難在想出因式分解計算過程，也許太久沒計算這類題目，感覺魯鈍了。
刪除能概述一下你計算本題的感覺嗎？
請參考以下 利用: (a+b)^2=a^2+b^2+2ab 公式
回覆刪除https://www.junyiacademy.org/math-grade-10/junyi-numbers-and-expressions-a/root/number-and-number-line/v/yxuKdQqtNWo
最近學會了excel的solver，又寫了個求解表單求解。
回覆刪除詳見電郵
雙重根式，原本好像是高一課程，高二三角函數證15度和75度特別角精確值時好像也會用到(學校可能不會教)。
回覆刪除我沒解出答案的關鍵在於算式化約成 sqrt(7 + 4sqrt(3))，這樣就看不出有 sqrt(4)+sqrt(3) 平方項了。
回覆刪除謝謝大家給予資料補充，國中生是不會教雙重根式，高中我就不清楚了，這一題，應該一票國中生會被打趴。
這種其實可以硬解，之前有發現。
刪除sqrt(p+sqrt(q))的形式，可以解聯立方程
{x+y=p
4xy=q
得到x和y。
不過x,y都要是有理數，根號才只會剩下一層，無理數的話「化簡」就沒什麼意義了。
因外層根號内部僅有一個加號，所以化簡之後也至多有一個加號
刪除謝謝西瓜提供公式，公式是充分理解後推導出來的通式，其餘同學不要死背，對學數學不會有大助益。
刪除從 flyingdusts 的留言，讓我想到一個加分題目，試列舉甚麼樣的正整數 a,b,c
可以得到 sqrt(a) = sqrt(b) + sqrt(c) 等式
先列出前幾項參考：
刪除4,1,1
8,2,2
9,1,4
9,4,1
12,3,3
16,1,9
16,9,1
16,4,4
18,2,8
18,8,2
25,1,16
25,16,1
小結：
首先、需要sqrt(bc)為正整數。
其次、分兩種情況討論：
第一種，存在大於1的正數d，使得b/d和c/d均爲整數，
第二種，不存在大於1的正數d，使得b/d和c/d均爲整數。
加分題的一個關鍵在於bc乘積值必須是平方數，其餘再研究。
刪除將題目改成sqrt(a)+sqrt(b)=sqrt(c),a,b,c皆為正整數
刪除sqrt(a)+sqrt(b)=sqrt(c)
a+b+2sqrt(ab)=c
2sqrt(ab)=-a+b+c
4ab=a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca
a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca=0
第一次配方
a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca=4ca
(a-b+c)^2=4ca
a-b+c=2sqrt(ca)...第一式
第二次配方
a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ca=4bc
(-a+b+c)^2=4bc
-a+b+c=2sqrt(bc)...第二式
第三次配方
a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca=4ab
(a+b-c)^2=4ab
a+b-c=2sqrt(ab)...第三式
三式相加
a+b+c=2[sqrt(ab)+sqrt(bc)+sqrt(ca)]
可知符合條件的正整數a,b,c，任兩數乘積必為平方數
這題的目標應該就是找出a,b,c三者的參數表達。
刪除三式相加
刪除a+b+c=2[sqrt(ab)+sqrt(bc)+sqrt(ca)]
這點好像有誤，嘗試以1，1，4代入，
左 = 1 + 1 + 4 = 6
右 = 2[sqrt(1x1)+sqrt(1x4)+sqrt(4x1)]
= 2(1+2+2) = 10
左右不等
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檢視原因，問題可能出在第一段：
a+b+2sqrt(ab)=c
2sqrt(ab)=-a+b+c這裏應改爲
2sqrt(ab)=-a-b+c
謝謝西瓜跟老師的補充，我只注意到其中兩項乘積有平方數關係，沒想到三者兩兩都是，這是西瓜所發現的，再來就是數式推導的修正，至於，如何表示這三數，應該以數對集合表示較佳，如 (a,b,c)
刪除孫老師提到的應該只是小問題，我看過筆記之後確認之後內容是無誤的。
刪除我的錯誤點是配方之後，比如說(a,b,c)=(1,1,4)時a+b-c為負，而2sqrt(ab)為正，導致等式兩邊不等。
看來要先確認三者之間的大小關係，知悉三者加減後其正負性質。
自己親自算一下，套用西瓜的算式，sqrt(a)+sqrt(b)=sqrt(c)
刪除應該是 a+b+c = 2[sqrt(ac)+sqrt(bc)-sqrt(ab)]，這個等式並不侷限 a,b,c 是整數，只要是實數即可。
每個數式都有它的幾何圖案意義，進階題，有興趣大家想想看 a+b+c = 2[sqrt(ac)+sqrt(bc)-sqrt(ab)]代表甚麼圖案意義？
刪除