大家在學習排列組合時，數學老師都會教導公式解，你可曾想過以別種方法計算，替代大家所熟用的公式？這先從排列公式談起，
假設有 16 個東西要排列，那麼共有
P(16,16) = 16! = 16 x 15 x 14 x ..... x 2 x 1 種排列方式
如果 16 樣東西任取兩樣排列，那麼共有
P(16,2) = 16! / (16-2)! = 16 x 15 種排列方式
如果 16 樣東西任取兩樣組合，那麼共有
C(16,2) = 16! / [(16-2)! x 2!] = 16 x 15 / 2 種組合方式
好，到此為止，這些都是大家從學校習得的數學知識，套公式計算排列組合數值。
最近我跟朋友們開始研究 OEIS A276449 數列 (旋轉碰碰棋)，它是個組合問題，這題 Andy 有興趣參與，因此我請他計算 C(16,2)，結果他給我一個算式 = 15 + 14 + 13 + ... + 2 + 1 = 120 ?! 答案與階乘計算法結果一樣，因為小朋友才國中而已，我也不主動指導他數學，通常丟有趣問題讓他思考，所以他是有能力解同齡程度的難題，也常自創奇怪解法，這個連加計算就是他自創算法，問為何這麼解？他說十六顆棋子，任意取兩子的組合，相當於選定一顆子後，將剩餘棋子數量遞減相加到一為止，它代表 16 顆選定一個後剩 15 顆可以選，再選定一顆後剩 14 顆可選，以次類推至沒棋子為止，他的解釋我實在想不出邏輯關聯性，不過還是以小朋友的方法驗算比較，結果發現 C(m,2) = m! / [(m-2)! x 2!] = m x (m-1) / 2 = (m-1) + (m-2) + ... + 2 + 1 完全相符。不知道各位讀者還有沒有其它合適的解釋，可以講通為什麼可以遞減連加？講得通就可以稱為 Andy 算法之類，哈哈哈。
這個遞減連加法，只適用任取兩個的組合，取三個以上的計算就不適用，倒是小朋友的算式給我靈感，
m 物任取二個組合像是在計算三角形面積，任取三個組合像是在計算三角錐體積，以下面為例
C(16,2) = 16 x (15/2) 16 為寬，15 為長的三角形
C(16,3) = 16 x (15/2) x (14/3) 16 為寬，15 為長，14 為高的三角錐
那任取四個、五個呢? 我覺得這應是第四度、第五度空間的錐形體
也就是數學組合公式，它與高維空間的特定錐形體是有個對應關係
另外，四維錐形體積就是底部 x 高度 / 4，五維錐形體積就是底部 x 高度 / 5，其餘以此類推，稱這為 Bridan 猜想，因為我沒有能力寫出對應的數學式以及證明，只好稱為猜想，留給數學專家證明之。
我真的想知道歷史上是那一位數學家，發現階乘計算的排列組合公式，也就是 P(m,n) 及 C(m,n) 是誰創建的？以及它對應於多維空間計算，不知道有沒數學家想過這樣的關係？
無論未來結果如何，這是 Andy 在今年爸爸節，送給我最好的禮物。
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後記，寫完前文後，小朋友又發現告訴我三維解法，舉例說
C(16,3) = 2 x (1x14 + 2x13 + 3x12 + 4x11 + 5x10 + 6x9 + 7x8) = 560
C(m,3) = 1x(m-2) + 2x(m-3) + ..... + (m-3)x2 + (m-2)x1 = m! / [(m-3)! x 3!]
真是神奇啊 !!
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這篇文章在發文前兩天先給網友 z423x5c6 試閱，並請教小朋友的神奇算式的意義何在，他畫龍點睛後，我才恍然大悟這兩個算式的推導，把他的評論原文張貼如下： Andy 在國中已經有 double counting 的概念真的很厲害！所謂 double counting，就是用兩種有系統的方法數同一個集合內的元素，Andy 所用的方法，如果把棋子加上編號，可能能更好地解釋： 先把棋子編上1 至16 ，再數所有可能的數對，為免重複，規定數對的第一個數必小於第二個數： 有1 的數對有：(1,2) ; (1,3) ; ... ; (1,15) 15 對 2：(2,3) ; ... ; (2,15) 14 對 ...... 14：(14,15) 1 對 數對=15+14+...+1 其實對於取三個也有類似的求和方法，也是來自 double counting 的概念，這裡有一個小小的挑戰給你：試證明 C(m,3)=((m-2)+(m-3)+...+1)+((m-3)+(m-4)+...+1))+...+(3+2+1)+(2+1)+1
http://imgur.com/set92dQ
回覆刪除證明有點冗長，期待有更簡短的
更正 第十三行 應為(m-1)(m-2)/2
刪除Bridan猜想是對的!
回覆刪除http://www.physicsinsights.org/pyramids-1.html
http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/npyramid.htm
hyperpyramid，暫譯「超錐體」
但是可能要再修一下，在高維空間(四維以上)中，尚有些中文名詞還沒有翻譯，可以用英文來表示。
哇!西瓜真是很會找資料，已經有專家思考過這問題。
回覆刪除另外，連證明也自己試看看，真的超厲害，好像在網路上捕獲 大蔥鴨 神奇寶貝！(樂)
http://imgur.com/a/om75n
回覆刪除我試著做了證明，不知猜想內容是不是這個意思?
是的，它充分表達我的猜想意思，非常謝謝你。
刪除建議你再加個二維、三維的圖，甚至四維的圖(如果畫得出來)，這應該很值得當作你的科展作品。
另外，網路發表作品皆有受到著作權法保障，在你完成作品當時就開始生效，如果你不期望作品被任意散佈或拷貝，那就要清楚宣告你的授權範圍及方式，給你參考。
可是既然已成定理，那我還可以以我的名義作科展嗎?
刪除要以我的名義做科展，要先得到您的授權，所以我還是先確認一下好......。
授權你使用於科展不成問題，通常論文經常擷取他人文章內容，只要是合理使用是 OK 的，也就是標示資料來源，拷貝複製不超過過多比例。基本上，我是採 CC-BY-NC-SA 3.0 協議授權，不要商業使用即可。
刪除當然遇到作者宣告嚴禁複製散佈的，那就是不能抄。
C(16,3) = （1+4+7+10+13）x 16
回覆刪除哈，老師也給出一個神奇算式，真是厲害！
刪除C(8,3) = 8 x (5+2) = 2 x (1x6 + 2x5 + 3x4) = 56
刪除看來老師的方法計算量很少，不過其它通式還要再研究。
C(3n+1,3) = Σ[3i+1](i=0 to n-1) x (3n+1)
刪除C(3n+2,3) = Σ[3i+2](i=0 to n-1) x (3n+2)
C(3n,3) = Σ[3i+1](i=0 to n-1) x (3n-2)
讚!比對了一下，應該沒錯，感覺這還可以再簡化。
刪除C(3n,3) = Σ[3i](i=0 to n-1) x (3n) + n
刪除最後多出來的[+n]有些突兀，因前兩條都沒有。
C(n,3) = k * n + p
刪除k = (n-3) + (n-3-3) + ... + i,（需要 i > 0）
若i = 1 或 2，則 p = 0;
若i = 3,則 p = n / i
做了一些整理跟證明。
回覆刪除https://drive.google.com/file/d/0Bzpp9mO8akXXSW9sS3ZZUVBNWTQ/view?usp=sharing
高手在民間，謝謝補充豐富內容，很高興能認識你。
刪除第三頁下半部到第四頁上半確實看不太懂，請問跟我那個式子是用的一樣的方法嗎？
刪除老師的概念並未出現在第三頁證明式中，你的是另外的計算方法，我也很好奇老師的方法，除了 C(m,n), n=3 之外，其它 n 是否也有類似特性，如果有，那應該是一個數學大發現。
刪除其它n應不具有此特性，因這種方法設計初衷只為解決n=3的問題。
刪除有心人可深究。
廖先生的留言遺失了，補貼如下
刪除第三頁下半到第四頁上半那一段（即三元和等式），只是按照前一節的方法再做一次分解，然後再將前一節的結果帶入。就是基於此種做法我才認為可以無限拓展。順帶一提，乘積等式或許也可以無限拓展，因為我有想到邏輯解，只是有點難解釋，故沒有打出來，也未多作深究。
flyingdusts的等式我還沒仔細看，可以問一下是怎麼做出來的嗎？
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flyingdusts等式，我舉例說明
C(7,3)=7*(4+1)
C(8,3)=8*(5+2)
C(9,3)=9*(6+3)+3=7*(7+4+1)
看高手能否指點迷津
感恩。
刪除我看得懂如何計算，我是指如何發現這樣規則的？
這就需要請 flyingdusts 說明，我也很好奇 ^_^
刪除目前在研究科展主題，發現與三角形數(2-單體數)、三角錐數(3-單體數)、和五胞體數(4-單體數)...形成的數列有關係。
刪除組合「n個取r個的組合數」要對應到體積(面積、超體積...)，初步構想是將一個組合對應到1立方單位。
不錯，即將開學了，你可以把科展構想問問老師，老師應該會幫你注意比賽資訊以及提供其它建議，祝你新學年有不錯的成績。
刪除昨天臨近下班，打了不少字，但因一次誤操作全部不見，心痛之下關機走人。
刪除正如我之前所說，這個規則是設計出來的，而不是發現。
方法如下：
已知組合數計算公式C(n,3) = n*(n-1)*(n-2)/(3*2*1)
先拆出n/1，剩下(n-1)*(n-2)/(3*2)；
受andy的算式啓發，想到構造等差數列，
[附其求和公式：(首+末)*(末-首+差)/(2*差)]
以此與上述所剩之式比較，得出差為3；
故構造末為n-3，公差為3之等差數列，則首有如下3種情形；
其一，當首為1時，
(首+末)*(末-首+差)=(1+n-3)*(n-3-1+3)=(n-2)*(n-1)，恰為所需；
其二，當首為2時，
(首+末)*(末-首+差)=(2+n-3)*(n-3-2+3)=(n-1)*(n-2)，恰為所需；
其三，當首為3時，*
(首+末)*(末-首+差)=(3+n-3)*(n-3-3+3)=n*(n-3)=n*n-3*n，雖不為所需，
但從整體看，n*n*(n-3)相較于n*(n-1)*(n-2)=n*n-3*n+2只少一常數，故補上p=n/i。
(其三證明有誤，但沒吃午餐暫時看不出來問題在哪，待吃完回來再補。）
老師能設計出公式不簡單，沒想到一個排列組合公式，竟然內藏這麼多神奇的東西。
刪除Bridan，開句玩笑地說，你收到的這個禮物能為望月教授指路啊，哈哈。
刪除老師指的是望月新一教授？如果這篇文章及討論能跟 ABC 猜想有關聯，那就更神奇了 \^_^/
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