另外在此感謝網友 z423x5c6 以 modular arithmetic 方法證明 (4n-3)!! + (4n-2)!! ≡ 0 mod (4n-1) 數式成立，以相同方式亦可以證明其餘算式成立。下面所有算式的 n = 1, 2, 3, ...
1^(2n-1) + 2^(2n-1) ≡ 0 mod 3
1 + 2 = 3 = 3x1
1x1x1 + 2x2x2 = 9 = 3x3
1x1x1x1x1 + 2x2x2x2x2 = 33 = 3x11
(2n-1)! + 2n! ≡ 0 mod (2n+1) ….. [(n-1)! + n!] / (n+1) = (n-1)!
1 + 2 = 3 = 3x1
1x2x3 + 2x3x4 = 30 = 5x6
1x2x3x4x5 + 2x3x4x5x6 = 840 = 7x120
1 + 2 = 3 = 3x1
1x3x5 + 2x4x6 = 63 = 7x9
1x3x5x7x9 + 2x4x6x8x10 = 4785 = 11x435
1 + 2 = 3 = 3x1
1x4x7 + 2x5x8 = 108 = 9x12
1x4x7x10x13 + 2x5x8x11x14 = 15960 = 15x1064
(8n-7)!!!! + (8n-6)!!!! ≡ 0 mod (8n-5)
1 + 2 = 3 = 3x1
1x5x9 + 2x6x10 = 165 = 11x15
1x5x9x13x17 + 2x6x10x14x18 = 40185 = 19x2115
其餘類推，這些推想來自 z423x5c6 前些天跟我提到 (6n-5)!!! + (6n-4)!!! ≡ 0 mod (6n-3) 的特性，個人認為這可以無限推展，仔細計算後果真如此。
modular arithmetic 特性證明
當數值越大 ! 越來越多，多重階乘數式不容易表示，可以採用下列方式表示，
1 x 4 x 7 x 10 x 13 = 13!!! = 13!(3)
或是用 𝜫 (Pi)
上方所有數式整合成一數學式，稱為 Bridan Formula
+1%5D+%5Cprod_%7Bi=1%7D%5E%7B2n-1%7D%5Bk(i-1)+2%5D%5Cequiv&space;0%5C:&space;%5C:&space;mod%5C:&space;%5C:&space;%5B2k(n-1)+3%5D "\prod_{i=1}^{2n-1}[k(i-1)+1]+\prod_{i=1}^{2n-1}[k(i-1)+2]\equiv 0\: \: mod\: \: [2k(n-1)+3]")
k = 0, 1, 2, 3, ·····
n = 1, 2, 3, 4, ·····
另外提出一 Bridan Function，用來表示 Bridan Formula 整除後的商數，
=%5Cfrac%7B%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7B2n-1%7D%5Bk(i-1)+1%5D+%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7B2n-1%7D%5Bk(i-1)+2%5D%7D%7B2k(n-1)+3%7D "B(n,k)=\frac{\prod_{i=1}^{2n-1}[k(i-1)+1]+\prod_{i=1}^{2n-1}[k(i-1)+2]}{2k(n-1)+3}")
這數論特性姑且稱為 Bridan Formula 特性，個人直覺這特性可能有助於數值拆項分析，未來再找時間請教數論方面專家學者看這是怎樣的新發現。
上方所有數式整合成一數學式，稱為 Bridan Formula
k = 0, 1, 2, 3, ·····
n = 1, 2, 3, 4, ·····
另外提出一 Bridan Function，用來表示 Bridan Formula 整除後的商數，
這數論特性姑且稱為 Bridan Formula 特性，個人直覺這特性可能有助於數值拆項分析，未來再找時間請教數論方面專家學者看這是怎樣的新發現。
請問「數值拆項分析」意思是?
回覆刪除還有，其實可以用n!(k)來表示多重階乘(https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%98)，當k=2，就是雙階乘。但我覺得用階乘符號的數量來表現還是比較方便。
關於多重階乘 (Multifactorials, https://en.wikipedia.org/wiki/Factorial) 英文版的定義才正確，當 n!(k) k 很大時，一堆 !!!! 會數不清楚，數量少時 OK
刪除數值拆項，個人覺得這個可以把一些特定數值，分拆為兩個連乘再相加。
那麼，應該就可以用多重階乘將Bridan Formula整理成通式。用求積號也可以。
回覆刪除我需要一點時間想想......。
嗯，以通式表達比較精簡，這部分再想想修正加入。
刪除通式 http://imgur.com/Yp2L5eW
刪除[2kn-(2k-1)]{ ! }^{ (k) }+[2kn-(2k-2)]{ ! }^{ (k) }\equiv0\quad \{ mod\quad [2kn-(2k-3)]\} k = 0, 1, 2, 3, ·····
刪除n = 1, 2, 3, 4, ·····
謝謝你整理一個數式，不過我動作快了點，先寫了一個 Pi 式，我不使用多重階乘，是因為 2!(0) 無法清楚表示要乘幾次，另外，這個數式能否再擴展到 Z 複數領域我不清楚，目前也超出個人能力，大家可以就此為基礎再繼續研究，所以 k 是否為 Z0+ 抱持存疑的態度。
刪除定義沒有提到k可不可以等於0，不過可以確定的是我們無法畫出0個階乘符號(笑)。
刪除因為可以推導出 1^(2n-1) + 2^(2n-1) ≡ 0 mod 3，就會有 k = 0，
刪除沒想到一個 2003 數學題竟然無意間找到新數列，以及新數論特性。(樂)
請問 同餘的符號\equiv 是不是有時候會直接用等號呈現?
回覆刪除≡ 同餘，在數論中是一種等價關係，簡單說兩數除同一個正整數時，餘數相等，這兩數等價，而 = 等號，是全等，兩者意思有差別 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E9%A4%98，同餘有條件限制，不要亂用。
刪除經過與你討論後，感覺算式以同餘表示會比較好。
刪除B(k,n)可以產生很多個新數列。
回覆刪除是啊，不過要會寫程式，並且有特殊意義的數列，OEIS 才會讓你加入，
刪除B(2,n) 是 A273889，B(3,n) 它是 z423x5c6 發現的，其它你可以嘗試申請一個看看，
不知道這 B(k,n) 函數未來會如何被利用？
B(k,n) 配合 OEIS 修改為 B(n,k)，因此
刪除B(n,0) = A007583(n) with n >= 1,
B(n,1) = A009445(n) with n >= 1,
B(n,2) = A273889(n) with n >= 1,
B(n,3) = A274117(n) with n >= 1,
B(1,n) = A000012(n) with n >= 0,
B(2,n) = A008585(n+1) with n >= 0,
B(3,n) = A274119(n) with n >= 0,
B(4,n) = A274117(n) with n >= 0.