這題目是網友行天下提供，我一聽到題目時，直覺未來男女比例會不均衡，並且這問題等效於公平錢幣連續投擲到正面為止，不過這題答案與直覺相反。
騎沈四傑2024年度總結
-
騎沈四傑指ichirou、馬拉錘、CEKU、cj6，由於ceku隱退，他的位置由jackchows頂替。 成員介紹
ichirou：facebook倉頡群組管理員，大馬倉友論壇管理員。I.明體作者。性情暴躁，智商偏低，因此常鬧笑話，多次摔跤。現已不敢隨便對倉頡規則發表意見。
馬拉錘：大馬倉友管理員，三代補完計...
2 天前
很有趣的題目！
回覆刪除假設所有家庭都會不斷生小孩，直至生出男嬰為止，違反直覺的是：每個家庭的男孩和女孩數量的期望值都是１個！亦即未來男女人口比例依然接近１：１。
證明：
男孩數量期望值=1/2 x 1 + 1/4 x 1 + 1/8 x 1 + ... = 1 (幾何級數)
女孩數量期望值=1/2 x 0 + 1/4 x 1 + 1/8 x 2 + ... = ?
這裡我使用生成函數的方法計算這數列的和：
Let f(x)=x^2 + 2x^3 + 3x^4 + ...
f(1/2)就是要找的答案。
f(x)
=x^2 + 2x^3 + 3x^4 + ...
=x^2(1 + 2x + 3x^2 + ...)
=x^2 (d/dx (x + x^2 + x^3 + ...))
=x^2 (d/dx (x/(1-x)))
=x^2/(1-x)^2
代入x=1/2，答案正正是1！
高手的證明，確實男女比例還是 1:1。生成函數對初中生來講太深了，用機率來證明會比較易懂。
刪除1 + 2x + 3x^2 + ...=1/(1-x)^2 是很有名的收斂級數，之前一直苦惱證明，原來可以利用積分來解決。
刪除還有，此題目也反映了早期重男輕女的社會現象。
嗯，不是積分，是將f'(x)轉乘d/dx f(x)的形式
刪除=x^2(1 + 2x + 3x^2 + ...)
刪除=x^2 (d/dx (x + x^2 + x^3 + ...))
有隱藏積分在裡面，經過微分又還原成原式，沒想到你也會微積分，這差不多到了高中三年級的程度！